O是三角形ABC所在平面内一动点连接OB、OC并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接

O是三角形ABC所在平面内一动点连接OB、OC并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接

若四边形DEFG是矩形，O点应在过A点且垂直于BC直线上。由（1）得DEFG是平行四边形 ∵在三角形ABO中，∴DE//OA ∵在△ABC中，∴DG//BC,∴DE⊥BC,即∠EDG=90°，∴四边形DEFG是矩形

只需要AO垂直于BC即可，当然O不在三角形ABC的边或顶点上

O在BC边的高上 证：过点A作AM垂直BC于M 因为D,G是AB,AC的中点 所以DG平行于BC，且DG=BC/2 在三角形BCO中，E,F是OB,OC的中点 所以EF平行于BC，且EF=BC/2=DG 所以四边形DEFG是平行四边形 又在三角形BOA中，DE平行于AO 所以DE垂直EF， 所以平行四边形DEFG是矩形

因为D,G是AB,AC的中点，所以DG平行BC,DG=二分之一BC 同理EF平行BG,EF=二分之一BC,因为DG平行EF，所以

、（1）利用中位线证明DG‖BC，DG=BC，EF‖BC，EF=BC，∴DG‖EF，DG=EF，∴DEFG是平行四边形。 （2）成立；画图略；说明理由略。 （3）0应在过A点且垂直于BC的直线上（A点除外），利用AO⊥BC的条件证明一个直角，结合DEFG是平行四边形，证得是矩形。

第一个问题： ∵d、g分别是ab、ac的中点，∴dg是△abc的中位线，∴dg∥bc、dg＝bc/2。 ∵e、f分别是ob、oc的中点，∴ef是△obc的中位线，∴ef∥bc、ef＝bc/2。 由dg∥bc、ef∥bc，得：dg∥ef。 由dg＝bc/2、ef＝bc/2，得：dg＝ef。 由dg∥ef、dg＝ef，得：defg是平行四边形。 第二个问题： 结论是成立的。即此时defg也是平行四边形。［证法同上］ 第三个问题： ∵d、e分别是ab、ob的中点，∴de＝oa/2，又dg＝bc/2，而defg是菱形，∴de＝dg， ∴oa＝bc。 ∴当oa＝bc时，defg是菱形。