等价无穷小在什么时候可以替换?假如只替换了分子,没有替换分母,答案也是对的吗?
答案:2 悬赏:80
解决时间 2021-02-17 20:11
- 提问者网友:我一贱你就笑
- 2021-02-17 04:11
等价无穷小在什么时候可以替换?假如只替换了分子,没有替换分母,答案也是对的吗?
最佳答案
- 二级知识专家网友:风格不统一
- 2021-02-17 04:35
一般来说,等价无穷小的替换,乘除法中可以用。加减法中尽量不要用。
至于你说的只替换分子,不替换分母;或者只替换分母,不替换分子。这都是在等价无穷小替换中常见的情况。
因为等价无穷小的替换原则是从复杂、难的无穷小,替换成简洁容易的无穷小。
所以如果分子或分母中,一方已经是简洁容易的无穷小了,当然就无需替换这一方了。
追问:谢谢
像这种情况分子可以替换吗
追答:x是趋近于哪个值?
只有x趋近于2kπ(k是整数)的时候,分子才是无穷小
当然从分母看,需要x>0,所以2kπ的k只能取自然数。
才可以替换为等价无穷小x²/2
但是,当x→2kπ(k是自然数)的时候,分母并不是无穷小
所以这时候,你为什么要把分子等价替换呢?
分子极限是0(是无穷小),分母极限不是0,直接就可以得到整个分式的极限是0了,还来搞个等价替换,是多此一举,没必要。
如果x不是趋近于2kπ(k是自然数),那么分子就不是无穷小,当然不能替换。直接把x带入计算就可以了。
如果x是趋近于π/2+2kπ(k是自然数),那么虽然cosx是趋近于0,是无穷小,但是这样的话,不能将1-cosx视为一个整体,所以分子整个不是无穷小,也就不存在是否替换的问题,也是直接把x的值带入计算即可。
所以就你给的这个式子,求极限的时候,我没想明白x趋近于哪个值的时候,需要用到无穷小的等价替换。因为就这个式子而言,当x趋近的值不是2kπ(k是自然数)的时候,分子不是无穷小,不能替换;而当x趋近的值是2kπ(k是自然数)的时候,分子是无穷小,但分母不是无穷小,可以直接计算,无需替换。
所以替换了干嘛?
追问:我这句话对吗也就是说分子分母的最后结果必须都趋近于0.才可以用等价无穷小吗
这种情况下,sinx可以替换成x这里就没有分子分母了吗对吗
追答:也就是说分子分母的最后结果必须都趋近于0.才可以用等价无穷小吗
应该说,只有分子分母都是无穷小的时候,等价无穷小替换才有价值。
如果一方是无穷小,另一方不是,等价无穷小替换还是可以进行,只是无价值而已。
做起来无价值和做起来不允许是两个不同的概念。无价值的事情可以做,只是做了没好处。不允许的事情就不准做。
至于你的这个图片上的。
我前面说了,只有乘除的时候,才能使用等价无穷小,其他情况下都要慎用,最好不用。
所以作为你的这个图片上的,叫做幂指函数,是不能用等价无穷小替换的。
这个式子必须用对数的方法,化为分式才行
总之,不是乘除法的话,就最好不要用等价无穷小替换。
追问:最后我把它替换了,答案是一样的,应该是巧合把谢谢
追答:那只是巧合,所以不是乘除法的情况下,不要替换。
追问:谢谢
至于你说的只替换分子,不替换分母;或者只替换分母,不替换分子。这都是在等价无穷小替换中常见的情况。
因为等价无穷小的替换原则是从复杂、难的无穷小,替换成简洁容易的无穷小。
所以如果分子或分母中,一方已经是简洁容易的无穷小了,当然就无需替换这一方了。
追问:谢谢
像这种情况分子可以替换吗
追答:x是趋近于哪个值?
只有x趋近于2kπ(k是整数)的时候,分子才是无穷小
当然从分母看,需要x>0,所以2kπ的k只能取自然数。
才可以替换为等价无穷小x²/2
但是,当x→2kπ(k是自然数)的时候,分母并不是无穷小
所以这时候,你为什么要把分子等价替换呢?
分子极限是0(是无穷小),分母极限不是0,直接就可以得到整个分式的极限是0了,还来搞个等价替换,是多此一举,没必要。
如果x不是趋近于2kπ(k是自然数),那么分子就不是无穷小,当然不能替换。直接把x带入计算就可以了。
如果x是趋近于π/2+2kπ(k是自然数),那么虽然cosx是趋近于0,是无穷小,但是这样的话,不能将1-cosx视为一个整体,所以分子整个不是无穷小,也就不存在是否替换的问题,也是直接把x的值带入计算即可。
所以就你给的这个式子,求极限的时候,我没想明白x趋近于哪个值的时候,需要用到无穷小的等价替换。因为就这个式子而言,当x趋近的值不是2kπ(k是自然数)的时候,分子不是无穷小,不能替换;而当x趋近的值是2kπ(k是自然数)的时候,分子是无穷小,但分母不是无穷小,可以直接计算,无需替换。
所以替换了干嘛?
追问:我这句话对吗也就是说分子分母的最后结果必须都趋近于0.才可以用等价无穷小吗
这种情况下,sinx可以替换成x这里就没有分子分母了吗对吗
追答:也就是说分子分母的最后结果必须都趋近于0.才可以用等价无穷小吗
应该说,只有分子分母都是无穷小的时候,等价无穷小替换才有价值。
如果一方是无穷小,另一方不是,等价无穷小替换还是可以进行,只是无价值而已。
做起来无价值和做起来不允许是两个不同的概念。无价值的事情可以做,只是做了没好处。不允许的事情就不准做。
至于你的这个图片上的。
我前面说了,只有乘除的时候,才能使用等价无穷小,其他情况下都要慎用,最好不用。
所以作为你的这个图片上的,叫做幂指函数,是不能用等价无穷小替换的。
这个式子必须用对数的方法,化为分式才行
总之,不是乘除法的话,就最好不要用等价无穷小替换。
追问:最后我把它替换了,答案是一样的,应该是巧合把谢谢
追答:那只是巧合,所以不是乘除法的情况下,不要替换。
追问:谢谢
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- 1楼网友:独钓一江月
- 2021-02-17 05:19
常见的等价无穷小有:
ln(1+x)…………x
e^(x)-1…………x
[n次根号下(1+x)] - 1 ………………x/n
tanx…………x
arcsinx…………x
1-cosx…………x²/2
等价无穷小是现代词,是一个专有名词,指的是数学术语,是大学高等数学微积分使用最多的等价替换。
无穷小就是以数零为极限的变量。
确切地说,当自变量x无限接近某个值x0(x0可以是0、∞、或是别的什么数)时,函数值f(x)与零无限接近,即f(x)=0(或f(x0)=0),则称f(x)为当x→x0时的无穷小量。
例如,f(x)=(x-1)2是当x→1时的无穷小量,f(n)=1/n是当n→∞时的无穷小量,f(x)=sinx是当x→0时的无穷小量。特别要指出的是,切不可把很小的数与无穷小量混为一谈。
等价无穷小:
从无穷小的比较里可以知道,如果lim b/a^n=常数,就说b是a的n阶的无穷小, b和a^n是同阶无穷小。特殊地,如果这个常数是1,且n=1,即lim
b/a=1,则称a和b是等价无穷小的关系,记作a~b
等价无穷小在求极限时有重要应用,我们有如下定理:假设lim a~a'、b~b'则:lim a/b=lim a'/b'
现在我们要求这个极限 lim(x→0) sin(x)/(x+3)
根据上述定理 当x→0时 sin(x)~x (重要极限一) x+3~x+3 ,那么lim(x→0) sin(x)/(x+3)=lim(x→0)
x/(x+3)=1
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