学习正弦定理的目的

学习正弦定理的目的

正弦定理（The Law of Sines）是三角学中的一个基本定理，它指出“在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆半径的2倍”，即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2R（R为外接圆半径）。
正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式。由正弦函数在区间上的单调性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系。
一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。正弦定理是解三角形的重要工具。

是的 对任意三角形都成立

　　正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。

　　即a/sina=b/sinb=c/sinc=2r（2r在同一个三角形中是恒量，是此三角形外接圆的半径的两倍）

　　这一定理对于任意三角形abc，都有

　　a/sina=b/sinb=c/sinc=2r

　　r为三角形外接圆半径

[编辑本段]证明

　　步骤1.

　　在锐角△abc中，设bc=a,ac=b,ab=c。作ch⊥ab垂足为点h

　　

ch=a·sinb

　　ch=b·sina

　　∴a·sinb=b·sina

　　得到

　　a/sina=b/sinb

　　同理，在△abc中，

　　b/sinb=c/sinc

　　步骤2.

　　证明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r：

　　如图，任意三角形abc,作abc的外接圆o.

　　作直径bd交⊙o于d.

　　连接da.

　　因为直径所对的圆周角是直角,所以∠dab=90度

　　因为同弧所对的圆周角相等,所以∠d等于∠c.

　　所以c/sinc＝c/sind=bd=2r

　　类似可证其余两个等式。

[编辑本段]意义

　　正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式。

[编辑本段]扩展

　　一.三角形面积公式：

　　1.海伦公式:

　　设p=(a+b+c)/2

　　s△=根号下p(p-a)(p-b)(p-c)

　　解释:假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积s可由以下公式求得：

　　s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

　　而公式里的p为半周长：

　　p=(a+b+c)/2

　　2. s△abc=(ab/2)·sinc=(bc/2)·sina=(ac/2)·sinb=abc/(4r)[r为外接圆半径]

　　3.s△abc=ah/2

　　二. 正弦定理的变形公式

　　(1) a=2rsina, b=2rsinb, c=2rsinc;

　　(2) sina : sinb : sinc = a : b : c;

　　（条件同上）

　　在一个三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解似的唯一的；已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及“大边对大角，大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题

　　(3)相关结论:

　　a/sina=b/sinb=c/sinc=(a+b)/(sina+sinb)=(a+b+c)/(sina+sinb+sinc)

　　c/sinc＝c/sind=bd=2r

　　⑷设r为三角外接圆半径，公式可扩展为：a/sina=b/sinb=c/sinc=2r,即当一内角为90°时，所对的边为外接圆的直径。灵活运用正弦定理，还需要知道它的几个变形

　　sina=a/2r,sinb=b/2r,sinc=c/2r

　　asinb=bsina,bsinc=csinb,asinc=csina