已知椭圆C:x^2/16+y^2/9=1和点P(1,2),直线l经过点P并与C交于A、B,弦中点的轨迹方

已知椭圆C:x^2/16+y^2/9=1和点P(1,2),直线l经过点P并与C交于A、B,弦中点的轨迹方

解：设直线为y-2=k(x-1)
y=kx-k+2
x²/16+(kx-k+2)²/9=1
9x²+16k²x²-32k(k-2)x+16(k-2)²-144=0
(9+16k²)x²-32k(k-2)x+16k²-64k-80=0
xA+xB=32k(k-2)/(9+16k²)
yA+yB=k(xA+xB)-2k+4=32k²(k-2)/(9+16k²)-2k+4
设中点为（x，y）
x=(xA+xB)/2=16k(k-2)/(9+16k²)
y=(yA+yB)/2=-9(k-2)/(9+16k²)
x/y=-16k/9
k=(y-2)/(x-1)
x/y=-16(y-2)/9(x-1)
9(x²-x)+16(y²-2y)=0
9(x-1/2)²+16(y-1)²=73/4
(x-1/2)²/(1/9)+(y-1)²/(1/16)=73/4

(1)圆心坐标c（1，0） k（oc）=（2-0）/（2-1）=2 方程是：y-0=2(x-1) 即：y=2x-2 (2)当弦ab被点p平分时 圆心c与点p的连线必然与ab垂直 所以，ab的斜率可以知道了 k=-1/2 y-2=-1/2(x-2) x+2y-6=0 （3）因为直线l过p(2,2)且倾斜角为45度 所以l过（0，0）点 所以l的表达式为 y=x 所以圆心到直线的距离为二分之根号二 因为圆半径为3 所以用勾股定理求出玄一半长为二分之根号三十四 所以玄长为根号三十四

解：设弦中点为M（x，y），交点为A（x1，y1），B（x2，y2）．当M与P不重合时，A、B、M、P四点共线． ∴（y2-y1）（x-1）=（x2-x1）（y-2），① 由x1216+ y129=1，x2216+y229=1两式相减得(x1-x2) (x1+x2) 16+(y1-y2) (y1+y2) 9=0． 又x1+x2=2x，y1+y2=2y， ∴2x(x1-x2) 16=-2y(y1-y2) 9，② 由①②可得：9x2+16y2-9x-32y=0，③ 当点M与点P重合时，点M坐标为（1，2）适合方程③， ∴弦中点的轨迹方程为：9x2+16y2-9x-32y=0．