已知,如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB中点,DE、DF分别交AC于E,交BC于F,且DE⊥DF。
1.如果CA=CB,求证:AE^2+BF^2=EF^2
2.如果CA<CB,1中的结论还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由。
已知,如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB中点,DE、DF分别交AC于E,交BC于F,且DE⊥DF。
1.如果CA=CB,求证:AE^2+BF^2=EF^2
2.如果CA<CB,1中的结论还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由。
1)连CD
∵CA=CB,D是中点
∴∠A=∠B=45°,CD⊥AB,∠ACD=∠BCD=∠ACB/2=45°(等腰三角形三线合一)
∵∠ACB=90°
∴CD=AB/2=AD=BD(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)
∵DE⊥DF
∴∠EDC+∠CDF=∠EDC+∠ADE=90°
∴∠CDF=∠ADE(同角的余角相等)
∵∠CDF=∠ADE,CD=AD,∠DCF=∠A=45°
∴△CDF≌△ADE(ASA), CF=AE
同理 △CDE≌△BDF, CE=BF
∵CF²+CE²=EF²(勾股定理)
∴AE²+BF²=EF²
2)成立.
延长ED到P使DP=DE,连BP,FP
∵DP=DE,∠PDB=∠EDA,BD=AD
∴△PDB≌△EDA(SAS)
∴∠PBD=∠A,BP=AE
∴∠FBP=∠CBA+∠PBD=∠CBA+∠A=90°
∴BP²+BF²=FP²
∵DE⊥DF,DP=DE即DF垂直平分EP
∴EF=FP(垂直平分线上的点到线段两端点距离相等)
∴AE²+BF²=EF²