我国古代数学家秦九韶在《九章算术》中记述了“三斜求积术”，怎么推导出海伦公式

我国古代数学家秦九韶在《九章算术》中记述了“三斜求积术”，怎么推导出海伦公式

推导海伦公zhidao式：
用勾股定理
证明： 根据勾股定理，得：































此时化简得出海伦公式。 



扩展资料：
海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式。它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式。表达式为：S=√p(p-a)(p-b)(p-c)，它的特点是形式漂亮，便于内记忆容。
海伦公式：




假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：





而公式里的p为半周长（周长的一半）：



注1："Metrica"《度量论》手抄本中用s作为半周长，所以




 和



 两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。

它的特点是形式漂亮，便于记忆。

^海伦公式 　cosC = (a^2+b^2-c^41022)/2ab 1653S=1/2*ab*sinC 　　=1/2*ab*√(1-cos^内2 C) 　　=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] 　　=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] 　　=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)] 　　=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] 　　=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 　　设p=(a+b+c)/2 　　则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2, 　　上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] 　　=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 　　所以，三容角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王希伦 （Heron,也称海龙）二世发现...我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。 ...

海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希百罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王希伦 （Heron,也称海龙）二世发现的公度式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。海伦公式与三斜求积术是完全等价的。 原理简介 　　我国宋代的数学家秦九韶也提回出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。 　　假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积答S可由以下公式求得： 　　S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 　　而公式里的p为半周长： 　　p=(a+b+c)/2

秦九韶（1208年－1261年）南宋官员、数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。字道古，自称鲁郡（今山东曲阜）人，生于普州安岳（今属四川）。精7a686964616fe78988e69d8331333332613063研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，历任琼州知府、司农丞，后遭贬，卒于梅州任所，著作《数书九章》，其中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献。 秦九韶 秦九韶是一位既重视理论又重视实践，既善于继承又勇于创新，既关心国计民生，体察民间疾苦，主张施仁政，又是支持和参与抗金、抗蒙战争的世界著名南宋数学家。他所提出的大衍求一术和正负开方术及其名著《数书九章》，是中国数学史、乃至世界数学史上光彩夺目的一页，对后世数学发展产生了广泛的影响。清代著名数学家陆心源（1834－1894）称赞说：“秦九韶能于举世不谈算法之时，讲求绝学，不可谓非豪杰之士。” 德国著名数学史家M．康托尔(Cantor，1829-1920)高度评价了大衍求一术，他称赞发现这一算法的中国数学家是“最幸运的天才”。美国著名科学史家萨顿(G·Sarton，1884－1956)说过，秦九韶是“他那个民族，他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”。 编辑本段延伸 海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王希伦 （Heron,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。海伦公式与三斜求积术是完全等价的。 原理简介 我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。 假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得： S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 而公式里的p为半周长： p=(a+b+c)/2 ————————————————————————————————————————————— 注1："Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以 S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。 ————————————————————————————————————————————— 由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。 证明过程 （1） 与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为 cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab S=1/2*ab*sinC =1/2*ab*√(1-cos^2 C) =1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] =1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)] =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 设p=(a+b+c)/2 则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2, 上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] （2） 秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除，所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。 所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=q,p为“隅”，q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以 q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} 当P=1时，△ 2=q, △=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} 因式分解得 △ ^2=1/16[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2] =1/16[(c+a) ^2-b ^2][b^ 2-(c-a)^ 2] =1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a) =1/16(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c) =1/16 [2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)] =p(p-a)(p-b)(p-c) 由此可得： S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 其中p=1/2(a+b+c) 这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”。 S=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} .其中c>b>a. 根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题： 已知四边形ABCD为圆的内接四边形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四边形ABCD的面积 这里用海伦公式的推广 S圆内接四边形= 根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) （其中p为周长一半，a,b,c,d,为4边） 代入解得s=8√ 3 （3） 在△ABC中∠A、∠B、∠C对应边a、b、c O为其内切圆圆心，r为其内切圆半径，p为其半周长 有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1 r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=r ∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2 ∴ r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2) =[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA/2tanB/2tanC/2 =ptanA/2tanB/2tanC/2 =r ∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3 ∴S^2=p^2r^2=(pr^3)/(tanA/2tanB/2tanC/2) =p(p-a)(p-b)(p-c) ∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c) （4） 通过正弦定理和余弦定理的结合证明 (具体可以参考证明方法1)