当x＞0时，证明：不等式ex＞1+x+12x2成立
答案:2 悬赏:50
解决时间 2021-03-17 13:22
- 提问者网友：残阳碧曼
- 2021-03-17 06:34
当x＞0时，证明：不等式ex＞1+x+12x2成立．
最佳答案
- 二级知识专家网友：末路丶一枝花
- 2021-03-17 08:03
证明：令f(x)＝ex?1?x?
1
2 x2，
则f'（x）=ex-1-x，
再令g（x）=f'（x），则g'（x）=ex-1，
∵x＞0，∴ex-1＞0，即g'（x）＞0，
∴g（x）在[0，+∞）上为增函数，
由于x＞0，则g（x）＞g（0）=e0-1=0，即f'（x）＞0，
∴f（x）在[0，+∞）上为增函数，
由x＞0知，f(x)＞f(0)＝e0?1?0?
1
2 ×02＝0，
即ex-（1+x+
1
2 x2）＞0，
∴ex＞1+x+
1
2 x2，得证．
1
2 x2，
则f'（x）=ex-1-x，
再令g（x）=f'（x），则g'（x）=ex-1，
∵x＞0，∴ex-1＞0，即g'（x）＞0，
∴g（x）在[0，+∞）上为增函数，
由于x＞0，则g（x）＞g（0）=e0-1=0，即f'（x）＞0，
∴f（x）在[0，+∞）上为增函数，
由x＞0知，f(x)＞f(0)＝e0?1?0?
1
2 ×02＝0，
即ex-（1+x+
1
2 x2）＞0，
∴ex＞1+x+
1
2 x2，得证．
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- 1楼网友：无字情书
- 2021-03-17 09:14
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