函数问题11

设函数f(x)=x/x的平方+1

(1)是研究该函数早【1，正无穷）及【0，1】上的单调性

（2）求f(x)在【0，正无穷）上的最大值

解：

因为f'(x)=(1-x^2)/(x^2+1)^2

令f'(x)=0，解得：x1=1,x2=-1

当x<-1时，f'(x)<0，即f(x)为减函数

当-1<x<1时，f'(x)>0，即f(x)为增函数

当x>1时，f'(x)<0，即f(x)为减函数

所以，[1,+∞)为减区间，[0,1]为增区间

而，[0,+∞)上存在一个极大值也是最大值，即f(x)max=f(1)=1/2

这是一个勾形函数，f(x)=x+1/x那么通过x=1/x我们得到，x=正负1，通过对勾形图像的研究，我们知道在(0,1)上单调递减，在(1,正无穷)上单调递增，当然你也可以用定义法证明，就是作差法，不过要注意变形到适合讨论

第二问，很简单就是在x=1时取得最小值，f(x)=2