若等差数列{an},{bn}满足bn=an*an+1*an+2，数列｛bn｝的前n项和为Sn，若数列｛an｝满足3a5=8a12＞0

若等差数列{an},{bn}满足bn=an*an+1*an+2，数列｛bn｝的前n项和为Sn，若数列｛an｝满足3a5=8a12＞0

an=a1+(n-1)d
3a5=3a1+12d,8a12=8a1+88d
3a1+12d=8a1+88d＞0
a1=-76d/5,a1＞-4d
-76d/5＞-4d
d＜0
a1=-76d/5＞0
an=a1+(n-1)d
=-76d/5+(n-1)d
=-81d/5+nd

bn=ana(n+1)a(n+2)
=[-81d/5+nd][-81d/5+nd+d][-81d/5+nd+2d]
=[-81/5+n][-76/5+n][-71/5+n]d^3
当n-71/5＞n-76/5＞n-81/5＞0时，n≥17，则bn＜0
当n-81/5＜0，n-76/5＞n-71/5＞0时，n=16，则bn＞0
当n-81/5＜n-76/5＜0，n-71/5＞0时，n=15，则bn＜0
当n-81/5＜n-76/5＜n-71/5＜0时，n≤14，则bn＞0

所以
在1≤n≤14时，Sn单调递增，
在14＜n≤15时，Sn单调递减，
在15＜n≤16时，Sn单调递增，
在16＜n＜17时，Sn单调递减，
在n≥17时，Sn单调递减，
因此Sn在n=14处有极大值，在n=15处有极小值，在n=16处有极大值，
所以Sn的最大值在n=14或n=16处，
比较即可得答案。

b15=[-81/5+15][-76/5+15][-71/5+15]d^3=(24/125)d^3
b16=[-81/5+16][-76/5+16][-71/5+16]d^3=-(36/125)d^3
S16=S14+b15+b16
=S14-(12/125)d^3＞S14
S16最大。

设a1=a;公差为d,则3a5=8a12 --->3(a+2d)=8(a+11d) --->-5a=76d --->a=-76d/5 3a3>0--->a+2d>0--->-76d/5+2d=-66d/5>0--->d<0;a>0 an=a+(n-1)d=-76d/5+(n-1)d=(n-81/5)d=(n-16.2)d>=0--->n=<16.2 所以，数列{an}中，只有第一项到第16项是正数，从第17项开始的项都是负数。 即a1;a2;a3;......a16>0,a17;a18;......<0 数列{bn}={ana(n+1)a(n+2)}中有且只有b1=a1a2a3;b2=a2a3a4;......;b14=a1a15a16,b16=a16a17a18是正数。 而b15=a15a16a17;b17=a17a18a19......都是负数。 的最大值只可能是s14;s16.下面做差比较大小： s16-s14=b15+b16 =a15a16a17+a16a17a18 =a16a17(a14+a18) =-0.2d(0.8d)[(-2.2d+1.8d] =-0.2d*0.8d*(0.4d) =-0.64d^3>0 --->s16>s14 所以n=16时sn取得最大值。