点M，N，P在锐角三角形ABC内，满足∠MAB=∠MCA，∠MAC=∠MBA，∠NBA=∠NCB

，∠NBC=∠NAB，∠PCA=∠PBC，∠PCB=∠PAC，求证：直线AM，BN，CP共点,且它们的交点在三角形MNP外接圆上

证：1.延长AM BN CP分别交对边于D E F
（你可以只画M点和D点）
要证明AM BN CP共点，由塞瓦定理，只需证明(BD/DC)(CE/EA)(AF/FB)=1
考虑BD/DC
由于角MBA=角MAC，角MAB＝角MCA
所以角BMD＝角MBA+角MAB=角MAC+角MCA＝角DMC
所以MD平分角BMC，由角平分线定理 BD/DC=BM/MC
又因为三角形BMA相似于三角形AMC
所以BM/MC＝(BM/MA)(MA/MC)=(AB/AC)的平方
所以BD/DC=BM/MC=（AB/AC）平方
同理CE/EA=(CB/BA)平方
AF/FB=(AC/CB)平方
所以(BD/DC)(CE/EA)(AF/FB)=1三线共点得证
2.接下来证明交点在MNP外接圆上
作出三角形ABC的外接圆
还是只画M点，N和P先不用画
延长AM交ABC外接圆于X
下面证明M是AX的中点
延长CM交ABC外接圆于R
由于角BRC＝角BAC＝角BAM+角MAC＝角MCA+角MAC＝角DMC＝角RMA
所以RB平行于AX
又因为角RBM＝角RBA＋角ABM＝角ACM+角MAC＝角RMA＝角BRC
所以RM=MB，考虑RB平行于AX都是大圆的弦，所以M是AX中点
（具体的说，M在RB中垂线上，而RB是弦，中垂线过圆心，所以M是AX中点）
这时候把N点画出来，延长BN交大圆于Y，同样道理N是BY中点
（作图的时候在AC弧上随便找一点Y然后作BY中点N即可）
由于前面证明AM BN CP共点，设共点于S，S就是所作出的BN和AM的交点
设大圆的圆心为O
那么由于MN都是各自弦的中点
所以OM垂直于MS，ON垂直于NS
所以M和N都在OS为直径的圆上
同样道理P也在OS为直径的圆上
所以MNOPS五点共圆
从而MNPS四点共圆 得证
有什么问题可以提问～如果有帮助望采纳

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