不定积分 ∫(sinx-cosx)dx/(sinx+cosx)=? 请写明过程

∫-d(sinx+cosx) /(sinx+cosx) 这里为什么会有一个负号 为什么不是∫d(sinx+cosx) /(sinx+cosx)
对sinx-cosx求导应当等于cosx+sinx才对呀

解答:

被积函数的分母： sinx + cosx
对分母进行微分： d(sinx + cosx) = (cosx - sinx)dx
被积函数的分子： sinx - cosx
被积函数的分子的微分形式：(sinx - cosx)dx = d(-cosx - sinx) = -d(cosx + sinx)
整个积分的计算：∫(sinx-cosx)dx/(sinx+cosx) = -∫d(sinx+cosx)dx/(sinx+cosx)
= ln|sinx+cosx| + C

楼主的疑问：楼主将积分过程理解反了。
不是对分子求导，而是问分子是不是由分母求导而来？
在国内，这种方法称为“凑微分方法”；
在国外，没有这样的说法，仍算“变量代换法”。

这种“凑微分方法”的核心思想是：
1、被积的函数原来是由什么函数求导而来？
2、将dx前的被积函数放到d的后面，这一过程其实就是积分过程。

本题的核心是：想将本题的积分归结为∫dx/x = ln|x|的类型。

楼主仔细考虑一下，如有不懂，请Hi我。

∫(sinx-cosx)dx /(sinx+cosx) = ∫-d(sinx+cosx) /(sinx+cosx) = -ln(sinx+cosx) + C 晕啊！ d(sinx+cosx)= (cosx-sinx)dx = -(sinx-cosx)dx

先把被积函数化简

sinx/(sinx+cosx)

=sinx(sinx-cosx)/[(sinx+cosx)(sinx-cosx)]=[(sinx)^2-sinxcosx]/[(sinx)^2-(cosx)^2]

=(1/2)(1-cos2x-sin2x)/(-cos2x)

=(1/2)(-sec2x+1+tan2x)

则原积分=(1/2)∫dx+(1/2)∫tan2xdx-(1/2)∫sec2xdx

=x/2+(1/4)∫tan2xd2x-(1/4)∫sec2xd2x

=x/2-(1/4)ln|cos2x|-(1/4)ln|sec2x+tan2x|+c