由傅里叶级数取极限推导出傅氏积分的过程严格吗？

严格意义上来说的过程是什么样的？会否用到泛函分析方面的知识？

LZ这个问的有水平，我们所知道的的泛函分析其研究的主要对象是函数构成的空间。
泛函分析是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。
所以怎么当然会用到这方面的知识，至于那个过程严谨问题，恕在下还没有能力给出答案。但能经过这么多年的鉴别与完善，我想其过程还是相对较严格的。但时代在发展，所有只是都在更新。什么都不是一成不变的真的。