如何用雅克比法求解矩阵特征值和特征向量

如何用雅克比法求解矩阵特征值和特征向量

雅可比方法的基本思想是通过一系列的由平面旋转矩阵构成的正交变换将实对称矩阵逐步化为对角阵,从而得到 的全部特征值及其相应的特征向量.首先引进 中的平面旋转变换.变换
(7)
记为 ,其中
(8)
则称 为 中 平面内的一个平面旋转变换,称为 平面内的平面旋转矩阵.容易证明 具有如下简单性质：
① 为正交矩阵.
② 的主对角线元素中除第 个与第 个元素为 外,其它元素均为1；非对角线元素中除第 行第 列元素为 ,第 行第 列元素为 外,其它元素均为零.
③ 只改变 的第 行与第 行元素,只改变 的第 列与第 列元素,所以 只改变 的第 行、第 行、第 列、第 列元素.
设 为 阶实对称矩阵,为一对非对角线元素.令
则 为实对称矩阵,且 与 有相同的特征值.通过直接计算知

雅可比方法的基本思想是通过一系列的由平面旋转矩阵构成的正交变换将实对称矩阵逐步化为对角阵,从而得到 的全部特征值及其相应的特征向量.首先引进 中的平面旋转变换.变换 (7) 记为 ,其中 (8) 则称 为 中 平面内的一个平面旋转变换, 称为 平面内的平面旋转矩阵.容易证明 具有如下简单性质： ① 为正交矩阵. ② 的主对角线元素中除第 个与第 个元素为 外，其它元素均为1；非对角线元素中除第 行第 列元素为 ,第 行第 列元素为 外,其它元素均为零. ③ 只改变 的第 行与第 行元素， 只改变 的第 列与第 列元素,所以 只改变 的第 行、第 行、第 列、第 列元素. 设 为 阶实对称矩阵, 为一对非对角线元素.令 则 为实对称矩阵,且 与 有相同的特征值.通过直接计算知 (9) 当取 满足关系式 （10） 时， ，且 (11) 由于在正交相似变换下,矩阵元素的平方和不变，所以若用 表示矩阵 的对角线元素平方和，用 表示 的非对角线元素平方和,则由(11)式得 (12) 这说明用 对 作正交相似变换化为 后, 的对角线元素平方和比 的对角线元素平方和增加了 , 的非对角线元素平方和比 的非对角线元素平方和减少了 ,且将事先选定的非对角线元素消去了(即 ).因此，只要我们逐次地用这种变换，就可以使得矩阵 的非对角线元素平方和趋于零,也即使得矩阵 逐步化为对角阵. 这里需要说明一点：并不是对矩阵 的每一对非对角线非零元素进行一次这样的变换就能得到对角阵.因为在用变换消去 的时候,只有第 行、第 行、第 列、第 列元素在变化,如果 或 为零,经变换后又往往不是零了. 雅可比方法就是逐步对矩阵 进行正交相似变换,消去非对角线上的非零元素,直到将 的非对角线元素化为接近于零为止，从而求得 的全部特征值,把逐次的正交相似变换矩阵乘起来,便是所要求的特征向量. 雅可比方法的计算步骤归纳如下： 第一步 在矩阵 的非对角线元素中选取一个非零元素 .一般说来，取绝对值最大的非对角线元素; 第二步 由公式 求出 ，从而得平面旋转矩阵 ; 第三步 , 的元素由公式(9)计算. 第四步 以 代替 ，重复第一、二、三步求出 及 ，继续重复这一过程，直到 的非对角线元素全化为充分小(即小于允许误差)时为止. 第五步 的对角线元素为 的全部特征值的近似值, 的第j列为对应于特征值 ( 为 的对角线上第j个元素)的特征向量.