证明上半平面的解析自同胚只能是分式线性变换

证明上半平面的解析自同胚只能是分式线性变换

首先σ(z) = (z-i)/(z+i)给出上半平面H到(开)单位圆盘D的解析同胚.
因此f: H → H是解析自同胚 ⇔ σfσ^(-1): D → D是解析自同胚.
只需考虑D → D的解析自同胚.

对任意解析自同胚g: D → D, 设g(0) = a∈D.
存在D → D的解析自同胚τ(z) = (z-a)/(1-bz) (其中b为a的共轭), 使τ(a) = 0.
于是τg: D → D仍为解析自同胚, 且τg(0) = τ(g(0)) = τ(a) = 0.
可以先考虑将0映到0的D → D的解析自同胚.

这里有Schwarz引理: 设h: D → D为解析映射, 满足h(0) = 0. 则:
(1) 对任意z∈D, |h(z)| ≤ |z|, 且|h'(0)| ≤ 1.
(2) 存在c∈D, c ≠ 0使|h(c)| = |c|, 或成立|h'(0)| = 1的充要条件是h(z) = e^(iθ)·z, 其中θ∈[0,2π]为常数.
证明: 使用最大模原理.
(1) 由h(0) = 0, h(z)/z为D上的解析函数. 对任意z∈D, 取r使得|z| < r < 1.
由最大模原理, |h(z)/z|在以0为圆心r为半径的闭圆盘上的最大值在边界上取得.
而|h(z)| ≤ 1, 故|h(z)/z| ≤ 1/r. 另r → 1即得|h(z)/z| ≤ 1.
特别的h(z)/z在z = 0处的值为h'(0), 因此|h'(0)| ≤ 1.
(2) 若存在c∈D, c ≠ 0使|h(c)| = |c|, 则|h(c)/c| = 1. 若|h'(0)| = 1, 即h(z)/z在z = 0处的模为1.
无论那种情况, D上的解析函数h(z)/z都在D的内部取到模的最大值1.
由最大模原理, h(z)/z为常值函数. 又其模为1, 即有h(z) = e^(iθ)·z. 证毕.

若h: D → D为解析自同胚, 满足h(0) = 0.
存在k: D → D解析自同胚使k(h(z)) = z, 并可知k(0) = 0.
1 = z' = (k(h(z))' = k'(h(z))h'(z), 代入z = 0得k'(0)h'(0) = 1.
由Schwarz引理, |k'(0)| ≤ 1, |h'(0)| ≤ 1, 只有|k'(0)| = |h'(0)| = 1.
于是h(z) = e^(iθ)·z.

将0映到0的D → D的解析自同胚只有h(z) = e^(iθ)·z.
于是D → D的任意解析自同胚只有g(z) = τ^(-1)(h(z)) = (a+e^(iθ)·z)/(1+be^(iθ)·z).
其中θ∈[0,2π], a∈D为常数, b为a的共轭.
H → H的解析自同胚只有f(z) = σ^(-1)(g(σ(z))).
设(1+a)e^(-iθ/2) = α+βi, (1-a)e^(-iθ/2) = γ+δi, 其中α, β, γ, δ均为实数.
则可算得f(z) = (αz-β)/(γz+δ).
即f(z)为实系数的分式线性变换.
反之易验证行列式 > 0的实系数分式线性变换都是上半平面的解析自同胚.