三角形ABC中，角A=90度，角B的平分线交AC于D，AH、DF都垂直于BC，H、F为垂足，求证：四边形AEFD为菱形。

E是AH垂直线和角B的平分线BD的相交点

AE/EH=AB/BH（角平分线定理）=BC/AB（BAH与ABC相似）=CD/AD（角平分线）=CF/FH（AH与FD均垂直于BC，它们平行），所以EF//AD。因此，AEFD为平行四边形。
角HBE与HEB互余，角ABD与ADB互余。CBD=ABD，所以HEB=ADB，对角DEA也等于ADB，所以AED是等腰三角形。因此，平行四边形AEFD的临边相等。
因此AEDF是菱形。

证明：∵bd是∠abc的平分线 ∴∠abd=∠dbc ∵△abc中∠bac=90° 又ah、df都垂直于bc，所以ah‖df且∠dfb=90° ∴△abd与△fbd中∠adb=∠fdb（两三角形中有两角相等，则第三个角必相等） bd为公共边所以△abd全等于△fbd（角边角） ∴ad=df ∵ah‖df，所以∠aed=∠edf(内错角） ∴∠aed=∠ade，则△aed为等腰三角形，即ae=ad 又∵ah‖df，ad=df ∴ae平行且等于df ∴四边形aefd是平行四边形（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）