在RtABC中,∠ACB=90度,AC=BC,D为BC的中点,CE⊥AD,垂足为点E,交AB于点F,连接D
答案:2 悬赏:80
解决时间 2021-11-17 02:09
- 提问者网友:芷芹
- 2021-11-16 03:37
在RtABC中,∠ACB=90度,AC=BC,D为BC的中点,CE⊥AD,垂足为点E,交AB于点F,连接DF.求证:,∠ADC=∠BBF
最佳答案
- 二级知识专家网友:伤口狠精致
- 2021-11-16 04:51
法一:
证明:
延长CF到G,使EG=CE,连接BG,则E是线段CG的中点
∵D是BC的中点
∴ED是三角形BCG的中位线
ED//BG
∴AF:BF=AE:BG.....(1)
∵△ABC为等腰RT△
∴AC=CB
∠ACE=∠ADC(直角三角形中易证).......(2)
∵ED//BG
∠AEC=∠CGB=90°,∠ADC=∠CBG联立(2)知∠ACE=∠CBG
∴△CAE≌△BCG(AAS)
CE=BG,AE=CG
∵CE=EG,
∴AE=2BG带入(1)有AF:BF=2:1....(3)
∵AC=BC=2BD即AC:BD=2:1.....(4)
联立(3)(4)AF:BF=AC:BD
∵等腰RT△ABC中∠CAF=∠DBF=45°
∴△ACF∽△BDF(相似三角形的判定定理之一)
∠ACF=∠BDF联立(2)得
∠ADC=∠BDF
法二:
证明:过B作BG⊥BC交CF的延长线于G
∵△ABC为等腰RT△
∴AC=BC,∠CBA=45°
∵∠CAD=∠BCG(直角三角形中易得),∠ACD=∠CBG=90°
∴△ACD≌△CBG(AAS)
CD=BG,∠ADC=∠G
∵D为BC中点,BD=CD
∴BD=BG
∵∠FBG=90°-∠CBA=90°-45°=45°=FBD
BF为公共边
∴FBD≌△FBG(SAS)
∠BDF=∠G
∵∠ADC=∠G
∴∠ADC=∠BDF
3.过C作CG⊥AB于G,交AD于H
∵△ABC是等腰直角三角形
∴∠ACG=∠B,AC=BC
∵∠CAD+∠CDA=∠DCF+∠CDA=90°
∴∠CAD=∠DCE
∴△ACH≌△CBF
∴CH=BF
在△CDH和△BDF中
BD=CD,∠BCG=∠B=45°,CH=BF
∴△CDH≌△BDF
∴∠ADC=∠BDF
证明:
延长CF到G,使EG=CE,连接BG,则E是线段CG的中点
∵D是BC的中点
∴ED是三角形BCG的中位线
ED//BG
∴AF:BF=AE:BG.....(1)
∵△ABC为等腰RT△
∴AC=CB
∠ACE=∠ADC(直角三角形中易证).......(2)
∵ED//BG
∠AEC=∠CGB=90°,∠ADC=∠CBG联立(2)知∠ACE=∠CBG
∴△CAE≌△BCG(AAS)
CE=BG,AE=CG
∵CE=EG,
∴AE=2BG带入(1)有AF:BF=2:1....(3)
∵AC=BC=2BD即AC:BD=2:1.....(4)
联立(3)(4)AF:BF=AC:BD
∵等腰RT△ABC中∠CAF=∠DBF=45°
∴△ACF∽△BDF(相似三角形的判定定理之一)
∠ACF=∠BDF联立(2)得
∠ADC=∠BDF
法二:
证明:过B作BG⊥BC交CF的延长线于G
∵△ABC为等腰RT△
∴AC=BC,∠CBA=45°
∵∠CAD=∠BCG(直角三角形中易得),∠ACD=∠CBG=90°
∴△ACD≌△CBG(AAS)
CD=BG,∠ADC=∠G
∵D为BC中点,BD=CD
∴BD=BG
∵∠FBG=90°-∠CBA=90°-45°=45°=FBD
BF为公共边
∴FBD≌△FBG(SAS)
∠BDF=∠G
∵∠ADC=∠G
∴∠ADC=∠BDF
3.过C作CG⊥AB于G,交AD于H
∵△ABC是等腰直角三角形
∴∠ACG=∠B,AC=BC
∵∠CAD+∠CDA=∠DCF+∠CDA=90°
∴∠CAD=∠DCE
∴△ACH≌△CBF
∴CH=BF
在△CDH和△BDF中
BD=CD,∠BCG=∠B=45°,CH=BF
∴△CDH≌△BDF
∴∠ADC=∠BDF
全部回答
- 1楼网友:疯山鬼
- 2021-11-16 06:03
证明:连接df,
∵∠bce+∠ace=90°,∠ace+∠cae=90°,
∴∠bce=∠cae.
∵ac⊥bc,bf∥ac.
∴bf⊥bc.
∴∠acd=∠cbf=90°,
∵ac=cb,
∴△acd≌△cbf.∴cd=bf.
∵cd=bd= bc,∴bf=bd.
∴△bfd为等腰直角三角形.
∵∠acb=90°,ca=cb,
∴∠abc=45°.
∵∠fbd=90°,
∴∠abf=45°.
∴∠abc=∠abf,即ba是∠fbd的平分线.
∴ba是fd边上的高线,ba又是边fd的中线,
即ab垂直平分df.
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