如何用面积法证明射影定理

如何用面积法证明射影定理

在直角三角形BAC中,A为直角,AD是BC边上的高,那么BA^2=BD*BC,CA^2=CD*CB,AD^2=BD*CD
现在证明第一个
向量BA·向量BC＝BA*BC*cosB
一方面,上式＝(BA*cosB)*BC=BD*BC
另一方面,上式＝BA*(BC*cosB)=BA*BA=BA^2
所以BA^2=BD*BC
第二个的证明类似
第三个的证明
向量AB·向量AD＝AB*AD*cosBAD=AD^2
向量BA·向量DC＝BA*DC*cosB=BD*DC
把上面两个向量相加即可得到结果

面积射影定理：“平面图形射影面积等于被射影图形的面积s乘以该图形所在平面与射影面所夹角的余弦。” cosθ=s射影/s原 (平面多边形及其射影的面积分别是s原,s射影,它们所在平面所成锐二面角的为θ) 证明思路：因为射影就是将原图形的长度（三角形中称高）缩放，所以宽度是不变的，又因为平面多边形的面积比=边长的平方比。所以就是图形的长度（三角形中称高）的比。那么这个比值应该是平面所成角的余弦值。在两平面中作一直角三角形，并使斜边和一直角边垂直于棱（即原多边形图的平面和射影平面的交线），那么三角形的斜边和另一直角边就是其多边形的长度比，即为平面多边形的面积比，而将这个比值放到该平面三角形中去运算，即可。