在四边形ABCD中，CD||AB，AD=BC，对角线AC，BD交于点O，角ACD=60度，点P，Q，S分别为OA,BC,OD中点

求证三角形SPQ是等边三角形

由题知，四边形ABCD是以AB、CD为底的等腰梯形，
∠ACD=60°，容易知道，ΔOCD、ΔOAB是等边三角形
连接CS、BP，则CS⊥BD、BP⊥AC
∴P、S、B、C四点共圆，且圆心为BC中点Q
∴QP=QS=BC/2
又P、S是OA、OD中点，
∴PS∥AD
PS=AD/2=BC/2
∴QP=QS=PS=BC/2
∴ΔQPS是等边三角形

证明：连结BP、CS。 因为 CD//AB，AD=BC， 所以 四边形ABCD是等腰梯形， 所以 AC=BD， 又因为 AD=BC，CD=CD， 所以 三角形ACD全等于三角形BCD， 所以 角BDC=角ACD=60度， 所以 三角形OCD是等边三角形， 因为 S是OD的中点， 所以 CS垂直于OD，三角形BCS是直角三角形， 因为 Q是BC的中点， 所以 QS=BC/2， 同理： QP=BC/2 ， 因为 P、S分别是OA、OD的中点， 所以 PS=AD/2， 因为 AD=BC， 所以 QS=QP=QS， 所以 三角形SPQ是等边三角形。

证明：连接cs、bp； 因为等腰梯形abcd，cd//ab， 所以oc=od,oa=ob； 又因为∠acd=60°， 所以三角形cod、aob为等边三角形。 在等边三角形cod、aob中，因为s、p分别为od、oa中点， 所以cs垂直于bd，bp垂直于ac； 在直角三角形csb中，因为q是bc中点， 所以qs=1/2bc=1/ad； 又在直角三角形bcp中，因为q是bc中点， 所以qp=1/2bc=1/ad； 所以qs=qp=1/2ad； 又因在三角形aod中，p、s分别为oa、od的中点， 所以ps=1/2ad； 所以qs=qp=ps 即△pqs是等边三角形！