1方+2方+3方+4方++n方这个有公式吗，有
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解决时间 2021-01-10 01:03
- 提问者网友：書生途
- 2021-01-09 00:51
1方+2方+3方+4方++n方这个有公式吗，有
最佳答案
- 二级知识专家网友：大漠
- 2021-01-09 01:18
1²+2²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6
证明：
1²+2²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=3n^2-3n+1
2^3-1^3=3*2^2-3*2+1
3^3-2^3=3*3^2-3*3+1
4^3-3^3=3*4^2-3*4+1
...
n^3-(n-1)^3=3*n^2-3n+1
叠加得：
n^3-1^3
=3*(2^2+3^2+...+n^2)-3(2+3+...+n)+n-1
=3*(1^2+2^2+...+n^2)-3(1+2+...+n)+n-1
=3*(1^2+2^2+...+n^2)-3n(n+1)/2+n-1
所以1^2+2^2+...+n^2=[n^3-1+3n(n+1)/2-n+1]/3
化简得：1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
证明：
1²+2²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=3n^2-3n+1
2^3-1^3=3*2^2-3*2+1
3^3-2^3=3*3^2-3*3+1
4^3-3^3=3*4^2-3*4+1
...
n^3-(n-1)^3=3*n^2-3n+1
叠加得：
n^3-1^3
=3*(2^2+3^2+...+n^2)-3(2+3+...+n)+n-1
=3*(1^2+2^2+...+n^2)-3(1+2+...+n)+n-1
=3*(1^2+2^2+...+n^2)-3n(n+1)/2+n-1
所以1^2+2^2+...+n^2=[n^3-1+3n(n+1)/2-n+1]/3
化简得：1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
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