x^7-1=7(x-1) 怎么解？

x^7-1=7(x-1) 怎么解？

(x-1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x)=0

(x-1)(x+1)x(x^4+x^2+1)=0

由于x^4+x^2+1>1
故有三个解
x=1
x=-1
x=0

方程无整数解 证明如下： 若方程有解（x,y），设素数p满足p│（（x^7-1)/(x-1)), 所以p│(x^7-1),所以（p,x）=1,所以x^(p-1)≡1(mod p),若7不能整除（p-1）,则（7，p-1）=1,由裴蜀定理，存在s,t，使（p-1)s+7t=1,所以x=x^((p-1)s+7t)≡1（mod p）,所以x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1≡7（mod p）,所以p│7,所以p=7，综上，p=7或p≡1(mod 7). 所以（x^7-1）/(x-1)≡0或1（mod 7）,所以y-1≡0或1（mod 7）,若y-1=0(mod 7),y^4+y^3+y^2+y+1≡5(mod 7),与前面的分析矛盾；y-1≡1(mod 7),y^4+y^3+y^2+y+1≡3(mod 7),也与前面的分析相矛盾，所以方程无整数解。 证明完毕。