设函数z=y^2+f（x,x/y）,其中f具有二阶连续偏导数

将 f(u,v) 对应偏导数记为 ∂f/∂u=f1，∂f/∂v=f2，∂²f/(∂u∂v)=f12，∂²f/(∂v∂v)=f22，则：
∂z/∂x=f1+f2/y；
∂²z/(∂x∂y)=∂(f1+f2/y)/∂y=f12*∂(x/y)/∂y +(∂f2/∂y)/y-f2/y²=-xf12/y²+f22*[∂(x/y)/∂y]-f2/y²
=-(xf12+xf22-f2)/y²；

对方程 z = f(y/x,x+2y) 的两端求微分，得 dz = f1*[(xdy-ydx)/x²]+f2*(dx+2dy) = [-(y/x²)f1+f2]dx+[(1/x)f1+2*f2]dy， 得到 dz/dx = -(y/x²)f1+f2，dz/dy = (1/x)f1+2*f2， 于是 d²z/dxdy = (d/dx)(dz/dy) = (d/dx)[(1/x)f1+2*f2] = [(-1/x²)*f1+(1/x)*[-(y/x²)f11+f12]+2*[(1/x)f21+2*f22] = ……。