设函数f(x)是定义在R上的增函数，令F(x)=f(x)-f(2-x) (1) 求证：F(x)是R上的增函数； (2) 若F（x1）+f(x2)

设函数f(x)是定义在R上的增函数，令F(x)=f(x)-f(2-x)
(1) 求证：F(x)是R上的增函数；
(2) 若F（x1）+f(x2)>0,求证：x1+x2>2

（1）设x1>x2
F(x1)-F(x2)=f(x1)-f(2-x1)-[f(x2)-f(2-x2)]
=f(x1)-f(x2)+[f(2-x2)-f(2-x1)]
函数f(x)是实数集R上的增函数,f(x1)>f(x2)
-x1<-x2,(2-x1)<(2-x2)
f(2-x2)>f(2-x1)
∴F(x1)>F(x2),即函数F(x)是实数集R上也是增函数。

2.
g(x1)+g(x2)
= f(x1)+ f(x2)- f(2-x1)- f(2-x2)＞0
所以f(x1)- f(2-x1)＞0
f(x2)- f(2-x2)＞0
所以f(x1)＞f(2-x1) f(x2)＞f(2-x2)
因为f(x)为增函数
所以x1＞ 2-x1 x2＞ 2-x2
所以x1＞1 x2＞1
所以x1+x2 > 2

1.证明： 设x1＜x2，且x1,x2∈r 所以 g(x2)-g(x1) = f(x2) - f(2-x2) - f(x1)+ f(2-x1) = f(x2) - f(x1) + f(2-x1)- f(2-x2) 因为x1＜x2 , 所以2-x1＞2-x2 又因为f(x)在定义域上是增函数 所以f(x2) - f(x1)＞0 ，f(2-x1)- f(2-x2)＞0 所以f(x2) - f(x1) + f(2-x1)- f(2-x2)＞0 即g(x2)-g(x1)＞0 所以g(x2)＞g(x1) 所以g(x)为r上的增函数 2. g(x1)+g(x2) = f(x1)+ f(x2)- f(2-x1)- f(2-x2)＞0 所以f(x1)- f(2-x1)＞0 f(x2)- f(2-x2)＞0 所以f(x1)＞f(2-x1) f(x2)＞f(2-x2) 因为f(x)为增函数 所以x1＞ 2-x1 x2＞ 2-x2 所以x1＞1 x2＞1 所以x1+x2 > 2