数学问题1234四个数，加入一个数字5再随机踢掉一个数,剩下四个数全排,每个数不能站在原来位置上.几种排法

1不能排在1位置，2不能排在二位置，5可以排在任意位置。一共四个位置
如果n个数，加入一个数再随机踢掉一个数，剩下全排，每个数不能站在原位置上几种排法？
如果n个数，加入两个数再随机踢掉一个数，剩下全排，每个数不能站在原位置上几种排法？
如果n个数，加入三个数再随机踢掉一个数，剩下全排，每个数不能站在原位置上几种排法？
如果n个数，加入m个数再随机踢掉一个数，剩下全排，每个数不能站在原位置上几种排法？

容斥原理走起。
不失一般性，不妨设踢掉的数是n，则排列数为
n!-(1排在1位置，或2排在2位置，...，或n-1排在n-1位置)的排列数
=n!-((n-1)!×(n-1)-(n-2)!×C[n-1,2]+...+(-1)^(k+1)×(n-k)!×C[n-1,k]+...+(-1)^n)
=(n-1)!∑[k=0~n-1](-1)^k(n-k)/k!
=(n-1)!(n∑[k=0~n-1](-1)^k/k!-∑[k=1~n-1](-1)^k/(k-1)!)
=(n-1)!(n∑[k=0~n-1](-1)^k/k!+∑[k=0~n-2](-1)^k/k!)
=(n-1)!((n+1)∑[k=0~n-2](-1)^k/k!+(-1)^(n-2)/(n-2)!)
=(n-1)!(n+1)∑[k=0~n-2](-1)^k/k!+(n-1)(-1)^n

对于加入m个数的情况，相当于n+m-1个数加入1个数再踢掉1个数。比如1234加入567再踢掉4相当于123456加入7再踢掉4。