求解递归关系 a(n)=7a(n-1)-10a(n-2)+3^n a(0)=0,a(1)=1 小括号里的都是下标

求解递归关系 a(n)=7a(n-1)-10a(n-2)+3^n a(0)=0,a(1)=1 小括号里的都是下标

【解】a(n)=7a(n-1)-10a(n-2)+3^n (根据题意，应有n-2≥0，即n≥2)
a(n)-5a(n-1)=2[a(n-1)-5a(n-2)]+3^n
a(n)-5a(n-1)+3^n=2[a(n-1)-5a(n-2)+3^n]
又a(2)=7a(1)-10a(0)+3^2=7+9=16 (n≥2)
故{a(n)-5a(n-1)+3^n} (n≥1)是以a(1)-5a(1-1)+3^1=a(1)-5a(0)=4为首项，2为公比的等比数列。
所以a(伐伐崔和诏古措汰胆咯n)-5a(n-1)+3^n=4*2^(n-1)=2^(n+1) (n≥1)
即：a(n)-5a(n-1)=2^(n+1)-3^n (n≥1)
下面的过程与上面同理，凑配出等比数列{a(n)+2^(n-1)-3^n/4},
首项为a(1)+2^(1-1)-3^1/4=1+1-3/4=5/4，公比为5
故a(n)+2^(n-1)-3^n/4=5/4*5^(n-1) (n≥1)
所以a(n)=1/4[3^n+5^n-2^(n+1)]

a(n)=7a(n-1)-10a(n-2)+3^n (根据题意,应有n-2≥0,即n≥2) a(n)-5a(n-1)=2[a(n-1)-5a(n-2)]+3^n a(n)-5a(n-1)+3^n=2[a(n-1)-5a(n-2)+3^n] 又a(2)=7a(1)-10a(0)+3^2=7+9=16 (n≥2) 故{a(n)-5a(n-1)+3^n} (n≥1)是以a(1)-5a(1-1)+3^1=a(1)-5a(0)=4为首项,2为公比的等比数列. 所以a(n)-5a(n-1)+3^n=4*2^(n-1)=2^(n+1) (n≥1) 即：a(n)-5a(n-1)=2^(n+1)-3^n (n≥1)