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<p>f(x)=f(x0)+f'(x0)*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+...+f(n)(x0)/n!*(x-x0)^n （泰勒公式，最后一项中n表示n阶导数） <br><br>f(x)=f(0)+f'(0)*x+f''(x)/2!*x^2+...+f(n)(0)/n!*x^n （麦克劳林公式公式，最后一项中n表示n阶导数） <br><br>泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和： <br>f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!•(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!•(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!•(x-x.)^n+rn <br>其中rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。 <br>（注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。） <br>证明：我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limδx→0 f(x.+δx)-f(x.)=f'(x.)δx），其中误差α是在limδx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式： <br>p(x)=a0+a1(x-x.)+a2(x-x.)^2+……+an(x-x.)^n <br>来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-p(x)的具体表达式。设函数p(x)满足p(x.)=f(x.),p'(x.)=f'(x.),p''(x.)=f''(x.),……,p(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出a0、a1、a2、……、an。显然，p(x.)=a0,所以a0=f(x.)；p'(x.)=a1,a1=f'(x.)；p''(x.)=2!a2,a2=f''(x.)/2!……p(n)(x.)=n!an,an=f(n)(x.)/n!。至此，多项的各项系数都已求出，得：p(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!•(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!•(x-x.)^n. <br>接下来就要求误差的具体表达式了。设rn(x)=f(x)-p(x),于是有rn(x.)=f(x.)-p(x.)=0。所以可以得出rn(x.)=rn'(x.)=rn''(x.)=……=rn(n)(x.)=0。根据柯西中值定理可得rn(x)/(x-x.)^(n+1)=rn(x)-rn(x.)/(x-x.)^(n+1)-0=rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x.)^n(注：(x.-x.)^(n+1)=0),这里ξ1在x和x.之间；继续使用柯西中值定理得rn'(ξ1)-rn'(x.)/(n+1)(ξ1-x.)^n-0=rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.)^(n-1)这里ξ2在ξ1与x.之间；连续使用n+1次后得出rn(x)/(x-x.)^(n+1)=rn(n+1)(ξ)/(n+1)!，这里ξ在x.和x之间。但rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-p(n+1)(x),由于p(n)(x)=n!an,n!an是一个常数，故p(n+1)(x)=0，于是得rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)。综上可得，余项rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x.)^(n+1)。一般来说展开函数时都是为了计算的需要，故x往往要取一个定值，此时也可把rn(x)写为rn。 <br>泰勒 <br>18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（brook taylor）， 于1685 年8月18日在米德尔塞克斯的埃 德蒙顿出生。1709年后移居伦敦，获法学硕士学位。他在 1712年当选为英国皇家学 会会员，并于两年后获法学博士学位。同年（即1714年）出任 英国皇家学会秘书，四年 后因健康理由辞退职务。1717年，他以泰勒定理求解了数值方程。 最后在1731年1 2月29日于伦敦逝世。 <br><br>泰勒的主要着作是1715年出版的《正 的和反的增量方法》，书内以下列形式陈述出他已于 1712年7月给其老师梅钦（数学家 、天文学家）信中首先提出的着名定理——泰勒定理：式内v为独立变量的增量， 及 为流数。他假定z随时间均匀变化，则 为常数。上述公式以现代 形式表示则为：这公式是从格雷戈里－牛顿插值公式发展而成 的，当x＝0时便称作马克劳林定理。1772年 ，拉格朗日强调了此公式之重要性，而且 称之为微分学基本定理，但泰勒于证明当中并没有考虑 级数的收敛性，因而使证明不严谨， 这工作直至十九世纪二十年代才由柯西完成。 <br><br>泰勒定理开创 了有限差分理论，使任何单变量 函数都可展成幂级数；同时亦使泰勒成了有限差分理论的奠基者 。 泰勒于书中还讨论了微积分对一系列物理 问题之应用，其中以有关弦的横向振动之结果尤为重要 。他透过求解方程 导出了基本频率公式，开创了研究弦振问题之先 河。此外，此书还包括了他于 数学上之其他创造性工作，如论述常微分方程的奇异解，曲率 问题之研究等。 <br><br>1715年，他出版了另一名着《线性透 视论》，更发表了再版的《线性透视原理》（1719） 。他以极严密之形式展开其线性透 视学体系，其中最突出之贡献是提出和使用「没影点」概念， 这对摄影测量制图学之发展有 一定影响。另外，还撰有哲学遗作，发表于1793年。 </p>  <p>你还可以参考下面的网址：<br><a href="http://wenwen.soso.com/z/urlalertpage.e?sp=shttp%3a%2f%2fwww.lwzy.cn%2fqtlw%2fshowsoft.asp%3fsoftid%3d329" target="_blank">http://www.lwzy.cn/qtlw/showsoft.asp?softid=329</a></p>