已知θ是第三象限角,且sin^4θ+cos^4θ=5/9,求sinθcosθ，sinθ+cosθ，sin^3θ+cos^3θ

已知θ是第三象限角,且sin^4θ+cos^4θ=5/9,求sinθcosθ，sinθ+cosθ，sin^3θ+cos^3θ

乍看一眼从4次方变成没次方很有难度，但如果利用(sinθ)^2+(cosθ)^2=1的话就能降次数了。（ps：把sin^4θ写成(sinθ)^4会比较好，否则会让人跟sin4θ搞不清）
θ是第三象限角，所以sinθ<0，cosθ<0，sinθcosθ>0，sinθ+cosθ<0，(sinθ)^3+(cosθ)^3<0
因为5/9=(sinθ)^4+(cosθ)^4=[(sinθ)^2+(cosθ)^2]^2-2(sinθcosθ)^2=1-2(sinθcosθ)^2
所以(sinθcosθ)^2=2/9，sinθcosθ=√2/3 （√是根号的意思）
之后同样往(sinθ)^2+(cosθ)^2的方向靠拢
(sinθ+cosθ)^2=(sinθ)^2+(cosθ)^2+2sinθcosθ=1+2sinθcosθ=1+2√2/3
sinθ+cosθ=(1+√2)/√3= -(√3+√6)/3 （负号有点小，注意看清）
(sinθ)^3+(cosθ)^3=(sinθ+cosθ)[(sinθ)^2+(cosθ)^2-sinθcosθ]=(sinθ+cosθ)(1-sinθcosθ)
= -(√3+√6)/3 *(1-√2/3)= -(√3+2√6)/9 （有负号）

解： θ是第三象限角，则sinθ<0，cosθ<0，sinθcosθ>0 sin⁴θ+cos⁴θ=5/9 (sin²θ+cos²θ)²-2sin²θcos²θ=5/9 1-2sin²θcos²θ=5/9 sin²θcos²θ=2/9 sinθcosθ>0 sinθcosθ=√(2/9)=√2/3 sinθcosθ的值为√2/3