△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，E、F为BC上的两点，满足∠EAF=45°，求证：BE^2+CF^2=EF^2

△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，E、F为BC上的两点，满足∠EAF=45°，求证：BE^2+CF^2=EF^2

将△AEB逆时针转动直至AB与AC重合，即形成的新△AE'C≌△AEB,
AE'=AE,CE'=BE.
∠E'AC=∠EAB,∠ABE=∠ACE'=∠ACB=45°（直角三角形AB=AC),BE=CE'.

连接E'F.
∠E'AF=∠E'AC+∠FAC=∠EAB+∠FAC=90°-45°=45°
又∠EAF=45°，所以∠EAF=∠E'AF,
又AE'=AE,AF为公用边，△E'AF≌△EAF,E'F=EF,
又∠ABE=∠ACE'=∠ACB=45°,∠ACE'+∠ACB=45°+45°=90°，
△CE'F为RT△,E'F²=CE'²+FC²,
又CE'=BE,E'F=EF,
EF²=BE²+FC²

证明：如图，将△abe绕a点逆时针旋转90°，则旋转后b与c点重合，e点旋转至d点。

连接df。所以∠dcf=∠acd+∠acb=90°，cd=be，be^2+cf^2=cd^2+cf^2=df^2

接着证明df=ef。

∠eaf=45°，∠daf=∠cad+∠caf=∠bae+∠caf=90°-∠eaf=45°，所以∠eaf=∠daf。

在△afe与△afd中，af=af，∠fae=∠fad，ae=ad

所以△afe≌△afd，df=ef

所以be^2+cf^2=ef^2