设G为有限群,阶为N,N=p*q,p,q均为素数,证明G为循环群。
答案:2 悬赏:70
解决时间 2021-03-08 04:01
- 提问者网友:冥界祭月
- 2021-03-07 03:01
请详细一点,谢谢。
最佳答案
- 二级知识专家网友:偏爱自由
- 2021-03-07 03:17
这个结论不成立.
最简单的例子, 三元置换群S3的阶数为6 = 2·3,
2, 3均为素数, 但S3不是循环群, 连交换群都不是.
即便p, q都是奇素数也不成立, 例如有21阶非交换群.
如果将前提改为G是有限交换群, 且p ≠ q, 那么结论是成立的.
因为G作为交换群, 其阶数为pq, 其p阶子群(Sylow p-子群)存在唯一,
所以G中只有p-1个阶数为p的元素.
同理, G中只有q-1个阶数为p的元素, 再加上单位元共(p-1)+(q-1)+1 = p+q-1个.
剩下的pq-(p+q-1) = (p-1)(q-1) > 0个元素的阶数都是pq, 所以都是G的生成元.
因此G是循环群.
最简单的例子, 三元置换群S3的阶数为6 = 2·3,
2, 3均为素数, 但S3不是循环群, 连交换群都不是.
即便p, q都是奇素数也不成立, 例如有21阶非交换群.
如果将前提改为G是有限交换群, 且p ≠ q, 那么结论是成立的.
因为G作为交换群, 其阶数为pq, 其p阶子群(Sylow p-子群)存在唯一,
所以G中只有p-1个阶数为p的元素.
同理, G中只有q-1个阶数为p的元素, 再加上单位元共(p-1)+(q-1)+1 = p+q-1个.
剩下的pq-(p+q-1) = (p-1)(q-1) > 0个元素的阶数都是pq, 所以都是G的生成元.
因此G是循环群.
全部回答
- 1楼网友:甜野猫
- 2021-03-07 03:58
1^(1/q)的解不唯一
若x = 1^(1/q)
则x^q = 1
h也是上式的根
(1/q)的结果不是映射,不是一个合理的运算
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