设Q表示有理数集，集合A=|a+b根号2|a,b属于Q|.

设Q表示有理数集，集合A=|a+b根号2|a,b属于Q|.
（1）如果x1,x2属于A，求证：x1+x2属于A，x1*x2属于A
（2）于任意的y1,y2属于A，且y2不等于0，是否一定有y1/y2 属于A，试说明理由

x1 = a + b√2, x2 = c + d√2，则
(1)
x1 + x2 = (a+b) + (c+d)√2 ∈ A；
x1x2 = (ac+2bd) + (ad+bc)√2 ∈ A.
(2)
x1/x2 = (a+b√2)/(c+d√2) = (a+b√2)(c-d√2)/(c²-2d²)
= (ac-2bd)/(c²-2d²) + [(bc-ad)/(c²-2d²)]√2 ∈ A.

A就是数域Q(√2)，它对加减乘除法都是封闭的。

1、设x1=a+b根号2,x2=c+d根号2,a,b,c,d是有理数， 那么x1+x2=a+c+(b+d)根号2,a+c,b+d是有理数，则x1+x2属于A， x1*x2=ac+2bd+(bc+ad)根号2,ac+2bd,bc+ad是有理数，那么x1*x2属于A； 2、一定有； 设y1=a+b根号2,y2=c+d根号2,a,b,c,d是有理数， 那么y1/y2=（a+b根号2）/(c+d根号2),分子分母同乘c-d根号2，得到y1/y2=（ac-2bd)/(c^2-2d^2)+[(bc-ad)/(c^2-2d^2)]根号2,而系数是有理数，那么y1/y2属于A。

集合x={x|a+b√2，a,b属于q，x≠0}, 即a,b不同时为0. 集合a={1/x|x∈x}: 1/(a+b√2)=(a-b√2)/(a^2-2b)=p+q√2, p=a/(a^2-2b), q=-b/(a^2-2b) p,q为有理数，且可以反解出a=p/(p^2-2q), b=-q/(p^2-2q), 因此（a,b)与(p,q)一一对应，a=x 集合b={2x|x∈x}，2(a+b√2)=p+q√2, 得：p=2a, q=2b, a=p/2,b=q/2, 也是一一对应，b=x 集合c={x/√2|x∈x} (a+b√2)/√2=b+(a/2)√2, p=b, q=a/2, a=2q, b=p, 也是一一对应，c=x 集合d={x^2|x∈x}， (a+b√2)^2=a^2+2b^2+2ab√2=p+q√2 p=a^2+2b^2, q=2ab 这个不能一一对应了，比如对于p=-1,q=-1, 反解出来没实根，没有a, b来对应了。所以集合d包含于x中。