正三角形的一个顶点位于抛物线y^2=2px(P>0)的焦点,另外两个顶点在抛物线上,求这个三角形的边长.

弦长公式：|AB|=√（1+k^2)*|x1-x2|
k是斜率

|x1-x2|= √[(x1+x2)^2-4*x1x2]

x= （7+4√3）p 和(7-4√3)p

一个点A(x,y)到焦点f的距离是 x+p/2
A(x,y)到B(x,-y)的距离是 2y
所以 x+p/2=2y 得到的y 带入抛物线方程，得到x的值如上

三角形一边斜率为k = tan(30·） = √3/3 则这边所在直线为 y = √3/3(x-p/2), 另一边所在直线为y = -√3/3(x-p/2) 与抛物线相交 解得 x = (7+4√3)p/2 此时纵坐标为 y = (2+√3)p 或 y = -(2+√3)p 由弦长公式得 (p/2-(7+4√3)p/2)^2 + ((2+√3)p)^2 = 2(2+√3)p 解得 p = 1 边长为 (2+√3)p = 2+√3

这在抛物线上另外两点是关于x轴对称， 设一个点坐标是(x,2px)则另一点是(x,-2px), 边长是4px,点到焦点(2/p,0)距离等于到准线距离也等于4px,也就是x 2/p=4px，解得x,在代入算