、O,G,H分别是△ABC的外心，重心，垂心，AF是中线，AD垂直BC于D,BE垂直AC于E,求证O,G,H三点共线且GH=2OG

、O,G,H分别是△ABC的外心，重心，垂心，AF是中线，AD垂直BC于D,BE垂直AC于E,求证O,G,H三点共线且GH=2OG

作△ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点M。连结AM、CM、AH、CH、OH、OF。中线AF交OH于点G’
∵ BD是直径
∴ ∠BAM=∠BCM=90°
∴ AM⊥AB，MC⊥BC
∵ CH⊥AB，AH⊥BC
∴ MA‖CH，MC‖AH
∴ 四边形AMCH是平行四边形
∴ AH=MC
∵ F是BC的中点，O是BM的中点
∴ OF= 1/2MC
∴ OF= 1/2AH
∵ OF‖AH
∴ △OFG’ ∽△HAG’
∴AG’/FG’=AH/FO=2/1=G’H/OG’
∴ G’是△ABC的重心 (重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离比为2：1)
∴ G与G’重合
∴ O、G、H三点在同一条直线上,且GH=2OG