已知双曲线对称轴为坐标轴,两个顶点距离为2,焦点到渐近线距离为根号2,求双曲线方程
答案:2 悬赏:40
解决时间 2021-03-22 19:32
- 提问者网友:若相守£卟弃
- 2021-03-22 02:18
已知双曲线对称轴为坐标轴,两个顶点距离为2,焦点到渐近线距离为根号2,求双曲线方程
最佳答案
- 二级知识专家网友:孤伤未赏
- 2021-03-22 03:53
因为双曲线两个顶点距离为2,所以长轴为2,那么长轴的一半a=1
根据椭圆性质求出右焦点F(根号下(a^2+b^2),0) 渐近线的方程为bx-ay=0 (不是非得去右焦点,因为都是一样的,只是抽出其中一个焦点算罢了)
根据点线距离公式,求出F到渐近线的距离刚好为b,所以b=根号2
所以该双曲线的标准方程为x^2-y^2/2=1
当双曲线与x轴对称时 方程为x^2-(y-h)^2/2=1 h为任意实数
当双曲线与y轴对称时 方程为(x-g)^2-y^2/2=1 g为任意实数
同理,双曲线也可以开口纵向,即焦点为(0,根号下(a^2+b^2)),此时双曲线的标准方程为 y^2/2-x^2=1
当双曲线与x轴对称时 方程为(y-g)^2/2-x^2=1 g为任意实数
当双曲线与y轴对称时 方程为y^2/2-(x-h)^2=1 h为任意实数
综上,
双曲线的方程有四种
(y-g)^2/2-x^2=1 g为任意实数
(x-g)^2-y^2/2=1 g为任意实数
y^2/2-(x-h)^2=1 h为任意实数
x^2-(y-h)^2/2=1 h为任意实数
根据椭圆性质求出右焦点F(根号下(a^2+b^2),0) 渐近线的方程为bx-ay=0 (不是非得去右焦点,因为都是一样的,只是抽出其中一个焦点算罢了)
根据点线距离公式,求出F到渐近线的距离刚好为b,所以b=根号2
所以该双曲线的标准方程为x^2-y^2/2=1
当双曲线与x轴对称时 方程为x^2-(y-h)^2/2=1 h为任意实数
当双曲线与y轴对称时 方程为(x-g)^2-y^2/2=1 g为任意实数
同理,双曲线也可以开口纵向,即焦点为(0,根号下(a^2+b^2)),此时双曲线的标准方程为 y^2/2-x^2=1
当双曲线与x轴对称时 方程为(y-g)^2/2-x^2=1 g为任意实数
当双曲线与y轴对称时 方程为y^2/2-(x-h)^2=1 h为任意实数
综上,
双曲线的方程有四种
(y-g)^2/2-x^2=1 g为任意实数
(x-g)^2-y^2/2=1 g为任意实数
y^2/2-(x-h)^2=1 h为任意实数
x^2-(y-h)^2/2=1 h为任意实数
全部回答
- 1楼网友:疯山鬼
- 2021-03-22 04:33
∵双曲线的对称轴为坐标轴 ∴设(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 (a>0,b>0)① 或(y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1 (a>0,b>0)② 由题意可得, ①∵两个顶点间的距离为2 ∴2a=2,a=1,a^2=1 ∵焦点到渐近线的距离为根号2 ∴∣bc/a∣/[√(b/a)^2+1]=√2 b=√2,b^2=2 ∴方程为:x^2-y^2/2=1 ②∵两个顶点间的距离为2 ∴2b=2,b=1,b^2=1 ∵焦点到渐近线的距离为根号2 ∴∣ac/b∣/[√(a/b)^2+1]=√2 a=√2,a^2=2 ∴方程为:(y^2/2)-x^2=1
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