证明C(n,r)=C(r,r)C(n-r,0)+C(r,r-1)C(n-r,1)

C(n,r)=C(r,r)C(n-r,0)+C(r,r-1)C(n-r,1)+....+C(r,0)C(n-r,r)

题目拍照，老师帮你

1. c(r,r)+c(r+1,r)+c(r+2,r)+…+c(n,r)=c(r+1,r+1)+c(r+1,r)+c(r+2,r)+....+c(n,r) =c(r+2,r+1)+c(r+2,r)+...+c(n,r)=c(r+3,r+1)+....+c(n,r)=c(n+1,r+1) 2. c(n,1)+2c(n,2)+…+nc(n,n)=nc(n-1, 0)+nc(n-1, 1)+....+nc(n-1,n-1) =n[c(n-1,0)+c(n-1,1)+...c(n-1,n-1)]=n*2^(n-1) 3. ∵(1+x)^m*(1+x)^n=(1+x)^(m+n) ∴展开式中x^r的系数，右边=c(m+n,r) 左边=c(m,r)*c(n,0)+c(m,r-1)*c(n,1)+…+c(m,0)*c(n,r) 得证 4. (c(n,o))^2+(c(n,1))^2+(c(n,2))^2+(c(n,3))^2+…+(c(n,n))^2=c(n,0)*c(n,n)+c(n,1)*c(n,n-1)+....+c(n,n)*c(n,0) ∵(1+x)^n*(1+x)^n=(1+x)^2n ∴展开式中x^n的系数，右边=c(2n,n) 左边=c(n,0)*c(n,n)+c(n,1)*c(n,n-1)+....+c(n,n)*c(n,0) 得证 注：，看起来有点难，特别是3，4题，但不难理解，希望你看得懂。