我想问在概率论中怎么求x^2乘以e的x^2从0到正无穷的积分啊?是跟高数里一样求吗?还是有公式啊?
答案:1 悬赏:20
解决时间 2021-01-26 08:13
- 提问者网友:却不属于对方
- 2021-01-25 20:51
我想问在概率论中怎么求x^2乘以e的x^2从0到正无穷的积分啊?是跟高数里一样求吗?还是有公式啊?
最佳答案
- 二级知识专家网友:持酒劝斜阳
- 2021-01-25 21:53
结果是√π/2
给你一个不是很严密的做法,严格做法在同济大学高等数学教材中有(下册二重积分极坐标部分)
设u=∫[-∞,+∞] e^(-t^2)dt
两边平方: 下面省略积分限
u^2=∫e^(-t^2)dt*∫e^(-t^2)dt 由于积分可以随便换积分变量
=∫e^(-x^2)dx*∫e^(-y^2)dy 这样变成一个二重积分
=∫∫ e^(-x^2-y^2)dxdy 积分区域为x^2+y^2=R^2 R-->+∞
用极坐标
=∫∫ e^(-r^2)*rdrdθ
=∫ [0-->2π]∫ [0-->R] e^(-r^2)*rdrdθ 然后R-->+∞取极限
=2π*(1/2)∫ [0-->R] e^(-r^2)d (r^2)
=π[1-e^(-R^2)] 然后R-->+∞取极限
=π
这样u^2=π,因此u=√π
所以你的问题结果是√π/2
本题不严密处在于,化为二重积分时,其实不应该是一个圆形区域,而应该是矩形区域,书上有这个处理方法,利用夹逼准则将圆形区域夹在两个矩形区域之间来解决这个问题。
希望可以帮到你,不明白可以追问,如果解决了问题,请点下面的"选为满意回答"按钮,谢谢。追问嗨,你刚刚说的我懂了,但我想说e前面还有个x^2
给你一个不是很严密的做法,严格做法在同济大学高等数学教材中有(下册二重积分极坐标部分)
设u=∫[-∞,+∞] e^(-t^2)dt
两边平方: 下面省略积分限
u^2=∫e^(-t^2)dt*∫e^(-t^2)dt 由于积分可以随便换积分变量
=∫e^(-x^2)dx*∫e^(-y^2)dy 这样变成一个二重积分
=∫∫ e^(-x^2-y^2)dxdy 积分区域为x^2+y^2=R^2 R-->+∞
用极坐标
=∫∫ e^(-r^2)*rdrdθ
=∫ [0-->2π]∫ [0-->R] e^(-r^2)*rdrdθ 然后R-->+∞取极限
=2π*(1/2)∫ [0-->R] e^(-r^2)d (r^2)
=π[1-e^(-R^2)] 然后R-->+∞取极限
=π
这样u^2=π,因此u=√π
所以你的问题结果是√π/2
本题不严密处在于,化为二重积分时,其实不应该是一个圆形区域,而应该是矩形区域,书上有这个处理方法,利用夹逼准则将圆形区域夹在两个矩形区域之间来解决这个问题。
希望可以帮到你,不明白可以追问,如果解决了问题,请点下面的"选为满意回答"按钮,谢谢。追问嗨,你刚刚说的我懂了,但我想说e前面还有个x^2
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