余弦定理

余弦定理

定理概述

　　a/sinA=b/sinB=c/sinC=2r
　　正弦定理(Sine theorem)　（1）已知三角形的两角与一边，解三角形
　　（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形
证明

　　步骤1
　　在锐角△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c。作CH⊥AB垂足为点H
　　 CH=a·sinB
　　CH=b·sinA
　　∴a·sinB=b·sinA
　　得到
　　a/sinA=b/sinB
　　同理，在△ABC中，
　　b/sinB=c/sinC
　　步骤2.
　　证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：
　　如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.
　　作直径BD交⊙O于D.
　　连接DA.
　　因为在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角，所以∠DAB=90度
　　因为在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等，所以∠D等于∠C.
　　所以c/sinC=c/sinD=BD=2R
　　类似可证其余两个等式。
余弦定理性质
　　对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a,b,c 三角为A,B,C ，则满足性质——
　　a^2 = b^2 + c^2 - 2·b·c·cosA
　　b^2 = a^2 + c^2 - 2·a·c·cosB
　　c^2 = a^2 + b^2 - 2·a·b·cosC
　　cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a·b)
　　cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / (2·a·c)
　　cosA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b·c)