证明lim n→∞∫(0,1)nx^n-1/1+e^x dx=1/1+e 希望得到各位帮助，先谢谢了
答案:2 悬赏:10
解决时间 2021-02-21 06:58
- 提问者网友：愿为果
- 2021-02-20 17:35
证明lim n→∞∫(0,1)nx^n-1/1+e^x dx=1/1+e 希望得到各位帮助，先谢谢了
最佳答案
- 二级知识专家网友：人间朝暮
- 2021-02-20 18:21
lim(n→∞) ∫(0→1) [nx^(n - 1)]/(1 + e^x) dx
= lim(n→∞) ∫(0→1) 1/(1 + e^x) d(x^n)
= lim(n→∞) [x^n/(1 + e^x)] |(0→1) + lim(n→∞) ∫(0→1) [(x^n)e^x]/(1 + e^x)^2 dx
= 1/(1 + e) + lim(n→∞) ∫(0→1) [x^n/(1 + e^x) - x^n/(1 + e^x)^2] dx
0 < x^n/(1 + e^x) < x^n
0 < ∫(0→1) x^n/(1 + e^x) < ∫(0→1) x^n dx = 1/(n + 1)
lim(n→∞) ∫(0→1) x^n dx = 1/(n + 1) = 0
所以原式 = 1/(1 + e)
= lim(n→∞) ∫(0→1) 1/(1 + e^x) d(x^n)
= lim(n→∞) [x^n/(1 + e^x)] |(0→1) + lim(n→∞) ∫(0→1) [(x^n)e^x]/(1 + e^x)^2 dx
= 1/(1 + e) + lim(n→∞) ∫(0→1) [x^n/(1 + e^x) - x^n/(1 + e^x)^2] dx
0 < x^n/(1 + e^x) < x^n
0 < ∫(0→1) x^n/(1 + e^x) < ∫(0→1) x^n dx = 1/(n + 1)
lim(n→∞) ∫(0→1) x^n dx = 1/(n + 1) = 0
所以原式 = 1/(1 + e)
全部回答
- 1楼网友：梦中风几里
- 2021-02-20 18:48
分部积分，由n趋于∞时，x^n=0化简。。
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