P为△ABC平面内一点，向量AB的模向量PC+向量BC的模向量PA+向量CA的模*向量PB=向量0.证明P是△ABC的内心

答案:2 悬赏:20

解决时间 2021-02-10 23:24

提问者网友：无心恋土
2021-02-10 19:14

P为△ABC平面内一点，向量AB的模*向量PC+向量BC的模*向量PA+向量CA的模*向量PB=向量0.证明P是△ABC的内心

最佳答案

二级知识专家网友：承载所有颓废
2021-02-10 19:38

向量AB的模*向量PC+向量BC的模*向量PA+向量CA的模*向量PB=向量0.
设向量AB的模=c, 向量BC的模=a，向量CA的模=b,
所以aPA向量+bPB向量+cPC向量=0向量，
延长CP交AB于D，根据向量加法得：
PA=PD+DA,PB=PD+DB,代入已知得：
a(PD+DA)+b(PD+DB) +cPC=0,
因为PD与PC共线，所以可设PD=kPC,
上式可化为(ka+kb+c) PC+( aDA+bDB)=0向量,
向量DA与DB共线，向量PC与向量DA、DB不共线，
所以只能有：ka+kb+c=0，aDA+bDB=0向量,
由aDA+bDB=0向量可知：DA与DB的长度之比为b/a,
所以CD为∠ACB的平分线，同理可证其它的两条也是角平分线。
∴P是△ABC的内心。

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1楼网友：许你一世温柔
2021-02-10 20:39

你好！！！ pa+pb+pc=ab 如果说是向量,则有: 因为pa+pb+pc=ab 所以ab=pb-pa 于是pa+pb+pc=pb-pa 得2pa+pc=0 又a c p三点在同一直线上，且pa与pc方向相反所以p在线段ac上且pc=2pa 所以pc=2/3ac 同高的情况下面积比等于底的比所以答案为pc/ac=2/3。希望能够帮助您！！！

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