证明函数f（x）=x^3+2x^2-4x-1 在（负无穷大---正无穷大）上的至少有三个零点，不用求导的方法，用极限

证明函数f（x）=x^3+2x^2-4x-1 在（负无穷大---正无穷大）上的至少有三个零点，不用求导的方法，用极限

-∞ f(x)->-∞<0
f(-2)=-8+8+8-1=7>0
f(0)=-1<0
limx->+∞ f(x)->+∞>0
明显该函数连续limx-&gt

x趋于-∞时，f(x)=x³(1+2/x -4/x²- 1/x³）=x³= -∞ 又f(-1)=4>0 因此在（-∞，0）至少有一个零点 f(1)=-3<0 因此在（-1，1）也至少有一个零点 x趋于+∞时，f(x)=x³(1+2/x -4/x²- 1/x³）=x³=+∞ 因此在（1，+∞）也至少有一个零点 综上，在（ -∞，+∞ ） 至少有三个零点

解：其导函数为：f'(x)=3x^2+4x-4,，令其导函数为0，则可解得x=2/3或x=-2.所以函数f(x)在（负无穷大——-2）和（2/3——正无穷大）上是单调递增的，在（-2——2/3）上是单调递减的。f(-2)=7>0,f(2/3)=-67/27<0,所以，在（-2——2/3）上必有一个零点。又f(-4)<0,f(4)>0,所以，至少有三个零点。