已知函数fx=ln(-1/x)+(x+a)/x求证1+1/2+1/3+…+1/n>=ln[(e^n

已知函数fx=ln(-1/x)+(x+a)/x求证1+1/2+1/3+…+1/n>=ln[(e^n

转换为证
1/x>1-lnx,
即1/x-1+lnx>0,
因为导数-1/(x^2)+1/x>0, 对x>=1,
故1/x>1-lnx=ln(1/x),
故1/k>=ln(1/k)

已知f（x）=(

a2+1

2

)ln(1+x2)+ax． （1）a=2时，求f（x）的极值； （2）当a＜0时，讨论f（x）的单调性； （3）证明：（1+

1

24

）（1+

1

34

）…(1+

1

n4

)＜e（n∈n^*，n≥2，其中无理数e=2.71828l）考点：函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）当a=2时，利用导数先求出函数的单调性，然后判断函数的极值．（2）当a＜0时，通过导数判断函数的单调性．（3）利用（2）的结论，通过构造函数，利用方缩法去证明不等式．解答：解：f′(x)＝

(a2+1)x

1+x2

+a＝

ax2+(a2+1)x+a

1+x2

＝

(ax+1)(x+a)

1+x2

， （1）当a=2时，f′(x)＝

(2x+1)(x+2)

1+x2

．由f'（x）＞0，解得x＞−

1

2

或x＜−2，此时函数递增． 由f'（x）＜0，解得−2＜x＜−

1

2

，此时函数递减．所以当x=-2时，函数取得极大值f(−2)＝

5

2

ln5−4， 当x=−

1

2

时，函数取得极小值f(−

1

2

)＝

5

2

ln5−1． （2）当-1＜a＜0时，由f'（x）＞0，解得−a＜x＜−

1

a

，此时函数递增．由f'（x）＜0，解得x＞−

1

a

或x＜-a，此时函数递减． 当a=-1时，f'（x）≤0恒成立，此时函数在r上单调递减． 当a＜-1时，由f'（x）＞0，解得−

1

a

＜x＜−a，此时函数递增．由f'（x）＜0，解得x＜−

1

a

或x＞-a，此时函数递减． 综上：当a=-1时，函数的单调递减区间为r．     当-1＜a＜0时，增区间为(−a，−

1

a

)，单调减区间为（-∞，-a）和(−

1

a

，+∞)．     当a＜-1时，增区间为(−

1

a

，−a)，单调减区间为（-a，+∞）和(−∞，−

1

a

)． （3）由（2）知当a=-1时，函数f（x）在r上单调递减．当x＞0时，f（x）＜f（0），所以ln（1+x²）-x＜0，即ln（1+x²）＜x． 所以ln（1+

1

24

）（1+

1

34

）…(1+

1

n4

)=ln（1+

1

24

）+ln（1+

1

34

）+…+ln(1+

1

n4

)＜

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n−1)

＝1−

1

2

+

1

2

−

1

3

+…+

1

n

−

1

n+1

＝1−

1

n

＜1， 所以（1+

1

24

）（1+

1

34

）…(1+

1

n4

)＜e．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性问题，以及利用函数的单调性证明不等式，在证明不等式的过程中使用了方缩放证明不等式，综合性较强，难度较大．