已知{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．（1）若an=3n+1，是否存在m、k∈N*，有am+am+1=

已知{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．（1）若an=3n+1，是否存在m、k∈N*，有am+am+1=ak？说明理由；（2）找出所有数列{an}和{bn}，使对一切n∈N*，an+1an＝bn，并说明理由；（3）若a1=5，d=4，b1=q=3，试确定所有的p，使数列{an}中存在某个连续p项的和是数列{bn}中的一项，请证明．

（1）由am+am+1=ak，得6m+5=3k+1，
整理后，可得k?2m＝
4
3 ，∵m、k∈N*，∴k-2m为整数，
∴不存在m、k∈N*，使等式成立．
（2）设an=nd+c，若
an+1
an ＝bn，对n∈N×都成立，
且{bn}为等比数列，则
an+2
an+1 /
an+1
an ＝q，对n∈N×都成立，
即anan+2=qan+12，∴（dn+c）（dn+2d+c）=q（dn+d+c）2，
对n∈N×都成立，∴d2=qd2
（i）若d=0，则an=c≠0，∴bn=1，n∈N*．
（ii）若d≠0，则q=1，∴bn=m（常数），即
dn+d+c
dn+c =m，则d=0，矛盾．
综上所述，有an=c≠0，bn=1，使对一切n∈N×，
an+1
an ＝bn．
（3）an=4n+1，bn=3n，n∈N*，
设am+1+am+2++am+p=bk=3k，p、k∈N*，m∈N．

4(m+1)+1+4(m+p)+1
2 p＝3k，
∴4m+2p+3＝
3k
p ，
∵p、k∈N*，∴p=3s，s∈N
取k=3s+2，4m=32s+2-2×3s-3=（4-1）2s+2-2×（4-1）s-3≥0，由
二项展开式可得整数M1、M2，
使得（4-1）2s+2=4M1+1，2×（4-1）s=8M2+（-1）S2
∴4m=4（M1-2M2）-（（-1）S+1）2，
∴存在整数m满足要求．
故当且仅当p=3s，s∈N，命题成立．

（ⅰ）由am+am+1=ak，得6m+6+3k+1，整理后，可得k?2m＝ 4 3 ， ∵m、k∈n，∴k-2m为整数，∴不存在n、k∈n*，使等式成立． （ⅱ）当m=1时，则b1?b2=bk， ∴a2?q3=aqk， ∴a=qk-3，即a=qc，其中c是大于等于-2的整数． 反之当a=qc时，其中c是大于等于-2的整数，则bn＝qn+c， 显然bm?bm+1＝qm+c?qm+1+c＝q2m+1+2c＝bk，其中k=2m+1+c． ∴a、q满足的充要条件是a=qc，其中c是大于等于-2的整数．