高等数学 微分方程 如图

结论：
【积分（从a到g(x)）f(t)dt】’=f(g(x))*g'(x)。
证明：令F(u)=积分（从a到u）f(t)dt，
则由微积分基本定理有F'(u)=f(u)。
注意到要证等式左边是复合函数
F(g(x))的导数，由链式法则有
【F(g(x))】‘=F'(g(x))*g'(x)
=f(g(x))*g(x)。
建议记住这个结论。

两边求导得d^2(y)/d(x^2)=2*y+1;

再利用特征方程r^2-2=0得求出r=sqrt(2) 或r=-sqrt(2)

所以通解为y=a*exp^(sqrt(2)*x)+b*exp^(-sqrt(2)*x)+c

等式两边对x求导得： 左边等于用积分上限f(x)代被积函数中的t，再乘以f(x)的导数，即是xf'(x) 右边等于用积分上限x代被积函数中的t，再乘以x的导数,即是：x(cosx-sinx)/(sinx+cosx) xf'(x)=x(cosx-sinx)/(sinx+cosx) 求得f(x)=ln|sinx+cosx|+C 由单调条件可知：f(0)=0,所以C=0