已知,如图,在三角形ABC中,内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F,求证:∠FDE=90°-1/2∠A

已知,如图,在三角形ABC中,内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F,求证:∠FDE=90°-1/2∠A

证明：
∵内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F
∴BF=BD【从圆外一点引圆的两条切线长相等】
∴∠BDF=∠BFD=（180º-∠B）÷2=90º-½∠B
∵CD=CE
∴∠CDE=∠CED=（180º-∠C）÷2=90º-½∠C
∴∠FDE=180º-∠BDF-∠CDE=180º-（90º-½∠B）-（90º-½∠C）
=½∠B+½∠C=½（∠B+∠C）
=½（180º-∠A）
=90º-½∠A

连接IF、IE
则角FIE=360°-90°-90°-角A
角FDE=（1/2）角FIE=90°-（1/2）角A

连接IE，IF，很明显IE⊥AE; IF⊥AF
∴ ∠IEA=∠IFA=90°，
故 ∠EIF=180°-∠A，
∴∠FDE= 1/2∠EIF=90°- 1/2∠A，

连接ID IE IF
则有ID=IE=IF
并且∠IFA、∠IEA为90°（圆的切线垂直于过切点的半径）
由ID=IE=IF推出IED和IFD是等腰三角形，∠IED=∠IDE，∠IFD=∠IDF
所以∠FDE=∠IDE+∠IDF=∠IED+∠IFD
由AFDE四边形内角和360°：
即∠A+∠AFD+∠AED+∠FDE=360°
其中，
∠AFD=∠AFI+∠IFD=90°+∠IFD
∠AED=∠AEI+∠IED=90°+∠IED
代入，得∠A+180°+∠IFD+∠IED+∠FDE=360°
又因为上面得出∠FDE=∠IED+∠IFD
所以∠A+180°+∠FDE+∠FDE=360°
这样化简之后就得到∠FDE=90°-1/2∠A