设f(x)在[0,1]上具有二阶连续导数,且|f''(x)|<=A,x∈[0,1],证明|f'(x)|<=|f(1)-f(0)|+A/2,x∈[0,1]
答案:2 悬赏:30
解决时间 2021-02-14 16:14
- 提问者网友：浪子生来ˇ性放荡²↘
- 2021-02-14 08:15
设f(x)在[0,1]上具有二阶连续导数,且|f''(x)|<=A,x∈[0,1],证明|f'(x)|<=|f(1)-f(0)|+A/2,x∈[0,1]
最佳答案
- 二级知识专家网友：兮沫♡晨曦
- 2021-02-14 09:33
f(0)=f(x)+f'(x)(0-x)+0.5f''(a)(0-x)^2
f(1)=f(x)+f'(x)(1-x)+0.5f''(b)(1-x)^2
两式相减，移项，取绝对值得|f'(x)|=|f(1)-f(0)+0.5f''(a)x^2-0.5f''(b)(1-x)^2|<=
|f(1)-f(0)|+0.5A(x^2+(1-x)^2)<=|f(1)-f(0)|+0.5A，最后不等式是因为二次函数x^2+(1-x)^2在【0 1】上的最大值是1
f(1)=f(x)+f'(x)(1-x)+0.5f''(b)(1-x)^2
两式相减，移项，取绝对值得|f'(x)|=|f(1)-f(0)+0.5f''(a)x^2-0.5f''(b)(1-x)^2|<=
|f(1)-f(0)|+0.5A(x^2+(1-x)^2)<=|f(1)-f(0)|+0.5A，最后不等式是因为二次函数x^2+(1-x)^2在【0 1】上的最大值是1
全部回答
- 1楼网友：年轻没有失败
- 2021-02-14 09:43
f(0)=f(x)-f'(x)x+f''(ξ）x^2 /2
f(1)=f(x)-f'(x)(x-1)+f''(η）(x-1)^2 /2
两式相减，f'(x)=[f'旦畅测堆爻瞪诧缺超画'(ξ)*x^2 - f''(η)*(x-1)^2] /2
|f'(x)|<=a/2 *(2x*2 +2x +1)<=a/2
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