∫(x^2+y^2)^(1/2)ds,其中L为圆x^2+y^2=4x的一周
答案:2 悬赏:30
解决时间 2021-01-07 03:12
- 提问者网友:暮烟疏雨之际
- 2021-01-06 15:53
∫(x^2+y^2)^(1/2)ds,其中L为圆x^2+y^2=4x的一周
最佳答案
- 二级知识专家网友:千杯敬自由
- 2021-01-06 16:16
x-2=2cost,y=2sint,t位于【-pi,pi】,dx=-2sintdt,dy=2costdt,ds=根号【(dx)^2+(dy)^2】=2dt,于是积分变为
积分(从-pi到pi)根号(4(2+2cost))*2dt
=4积分(从-pi到pi)根号(4cos^2(t/2))dt
=16积分(从0到pi)cos(t/2)dt
=32sin(t/2)|上限pi下限0
=32追问ds=根号【(dx)^2+(dy)^2】=2dt
ds不是等于rdrdθ?求解追答你的ds那时面积积分才是rdrda,现在是曲线积分,ds是弧长。
积分(从-pi到pi)根号(4(2+2cost))*2dt
=4积分(从-pi到pi)根号(4cos^2(t/2))dt
=16积分(从0到pi)cos(t/2)dt
=32sin(t/2)|上限pi下限0
=32追问ds=根号【(dx)^2+(dy)^2】=2dt
ds不是等于rdrdθ?求解追答你的ds那时面积积分才是rdrda,现在是曲线积分,ds是弧长。
全部回答
- 1楼网友:街头电车
- 2021-01-06 17:20
∫√(x²+y²)ds,其中L为圆x²+y²=4x的一周
解:由x²+y²=4x,得x²-4x+y²=(x-2)²+y²=4,故可设x=2+2cost,y=2sint,dx=-2sintdt,dy=2costdt
ds=√(dx²+dy²)=[√(4sin²t+4cos²t)]dt=2dt
故‹L›∫√(x²+y²)ds=[-π,π]∫{√[(2+2cost)²+(2sint)²]}2dt=[-π,π]2∫[√(8+8cost)]dt
=[-π,π]4(√2)∫[√(1+cost)]dt=[-π,π]4(√2)∫√[2cos²(t/2)]dt=[-π,π]8∫cos(t/2)dt
=[-π,π]16∫cos(t/2)d(t/2)=16[sin(t/2)]︱[-π,π]=16[sin(π/2)-sin(-π/2)]=32
解:由x²+y²=4x,得x²-4x+y²=(x-2)²+y²=4,故可设x=2+2cost,y=2sint,dx=-2sintdt,dy=2costdt
ds=√(dx²+dy²)=[√(4sin²t+4cos²t)]dt=2dt
故‹L›∫√(x²+y²)ds=[-π,π]∫{√[(2+2cost)²+(2sint)²]}2dt=[-π,π]2∫[√(8+8cost)]dt
=[-π,π]4(√2)∫[√(1+cost)]dt=[-π,π]4(√2)∫√[2cos²(t/2)]dt=[-π,π]8∫cos(t/2)dt
=[-π,π]16∫cos(t/2)d(t/2)=16[sin(t/2)]︱[-π,π]=16[sin(π/2)-sin(-π/2)]=32
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