圆x^2+y^2=1中的xy关系

若圆x^2+y^2=1上有一点P(x,y),当该点分别位于一.二.三.四象限时,求x+y;xy的值域。 烦请给明详细证明。 感激不尽!

可设x=cosa，y=sina
第一象限时，a∈(0,π/2)
x+y=sina+cosa
=√2sin(a+π/4)
a∈(0,π/2)，则：a+π/4∈(π/4,3π/4)
所以，sin(a+π/4)∈(√2/2,1]
所以，x+y∈(1,√2]

xy=sinacosa=(1/2)sin2a
a∈(0,π/2)，则：2a∈(0,π)
所以，sin2a∈(0,1]
所以，xy∈(0,1/2]

第二象限时，a∈(π/2,π)
x+y=sina+cosa
=√2sin(a+π/4)
a∈(π/2,π)，则：a+π/4∈(3π/4,5π/4)
所以，sin(a+π/4)∈(-√2/2,√2/2)
所以，x+y∈(-1,1)

xy=sinacosa=(1/2)sin2a
a∈(π/2,π)，则：2a∈(π,2π)
所以，sin2a∈[-1,0)
所以，xy∈[-1/2,0)

第三象限时，a∈(π,3π/2)
x+y=sina+cosa
=√2sin(a+π/4)
a∈(π,3π/2)，则：a+π/4∈(5π/4,7π/4)
所以，sin(a+π/4)∈[-1,-√2/2)
所以，x+y∈[-√2,-1)

xy=sinacosa=(1/2)sin2a
a∈(π,3π/2)，则：2a∈(2π,3π)
所以，sin2a∈(0,1]
所以，xy∈(0,1/2]

第四象限时，a∈(3π/2,2π)
x+y=sina+cosa
=√2sin(a+π/4)
a∈(3π/2,2π)，则：a+π/4∈(7π/4,9π/4)
所以，sin(a+π/4)∈(-√2/2,√2/2)
所以，x+y∈(-1,1)

xy=sinacosa=(1/2)sin2a
a∈(3π/2,2π)，则：2a∈(3π,4π)
所以，sin2a∈[-1,0)
所以，xy∈[-1/2,0)

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O

这道题用图解法，z=x+y是直线，这个时候可以得到曲线在1,2,3,4 象限的取值范围分别为[1,根号2],[-1,1],[-根号2，-1],[-1，1],z=xy是双曲线。可以得到范围为[0,1/2],[-1/2,0],[0,1/2],[-1/2,0]。 你也可以用配方法，用原方程表示未知式子。再根据象限x，y的范围求解。

可用参数方程解决 设x=cosa y=sina 则x+y=cosa+sina=根号2sin(a+四分之π)值域为-根号2——+根号二

设 x=sina y=cosa 当在第1象限时 a的范围(0,π/2) 当在第2象限时 a的范围(π/2,π) 当在第3象限时 a的范围(π,π/3) 当在第4象限时 a的范围(π/3,2π) 这样x+y=sina+cosa=根号(2)*sin(a+π/4) xy=1/2sin(2a) 剩下的自己算了

基本不等式法： 因为x^2+y^2≥2xy≥-（x^2+y^2）， 即1-xy≥2xy≥-（1-xy）， 所以1/3≥xy≥-1， 所以x^2+y^2-xy =x^2+y^2+xy-2xy=1-2xy∈[1/3，3]； 换元法： 由x^2+y^2+xy=1得(x+y/2)^2+(√3/2y)^2=1, 设x+y/2=cosa,√3/2y=sina, 解得x,y代入即可.