积分 (1-x-2y)dy 如何变成 1/4(x-2x^2+x^3)dx

积分 (1-x-2y)dy 如何变成 1/4(x-2x^2+x^3)dx

一楼的结果不对，那个结果求导后为：x2/(x2-1)2

本题解法技巧较高
∫ x2/(1+x^4) dx
=(1/2)∫ (x2-1+x2+1)/(1+x^4) dx
=(1/2)∫ (x2-1)/(1+x^4) dx + (1/2)∫ (x2+1)/(1+x^4) dx
分子分同除以x2
=(1/2)∫ (1-1/x2)/(1/x2+x2) dx + (1/2)∫ (1+1/x2)/(1/x2+x2) dx
分子放到微分之后
=(1/2)∫ 1/(1/x2+x2) d(x+1/x) + (1/2)∫ 1/(1/x2+x2) d(x-1/x)
=(1/2)∫ 1/(1/x2+x2+2-2) d(x+1/x) + (1/2)∫ 1/(1/x2+x2-2+2) d(x-1/x)
=(1/2)∫ 1/[(x+1/x)2-2] d(x+1/x) + (1/2)∫ 1/[(x-1/x)2+2] d(x-1/x)
=(√2/8)ln|(x+1/x-√2)/(x+1/x+√2)| + (√2/4)arctan[(x-1/x)/√2] + C
=(√2/8)ln|(x2+1-√2x)/(x2+1+√2x)| + (√2/4)arctan[(x-1/x)/√2] + C

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