点P与两定点A(-4,0)，B(4,0)的连线所成的角APB=45°。求动点P的轨迹方程

点P与两定点A(-4,0)，B(4,0)的连线所成的角APB=45°。求动点P的轨迹方程

点P(x,y)
方法1
cos<APB=(PA^2+PB^2-AB^2)/(2PAPB)
=[(x-4)^2+y^2+(x+4)^2+y^2-64]/(2√{[(x-4)^2+y^2][(x+4)^2+y^2)]}

两边平方
[(x-4)^2+y^2][(x+4)^2+y^2)]=[(x-4)^2+y^2+(x+4)^2+y^2-64]^2

方程就是这样，要化简

方法2
PA的斜率y/(x+4)=tga
PB的斜率y/(x-4)=tgb
tg(a-b)=tg(45)=1或者tg(a-b)=tg(-45)=-1
即
(tga-tgb)/(1+tgatgb)=1或者(tga-tgb)/(1+tgatgb)=-1
将斜率代入即可

实际上P点轨迹是两个圆除去圆周上的两点A，B。 解法1：设P（x,y）用余弦定理a^2=b^2+c^2-2bc*cosA 8^2=((x-4)^2+y^2)+((x+4)^2+y^2)-2bc*cos45, 解方程 还有一种简单的方法，是几何解法，画不了图比较难理解 就是在（0，-4）上画一点C，以C为圆心，AC为半径画圆（有没有照着画啊） 可以看出圆心角ACB为90°，根据圆周角为圆心角的一半可以得到 弦AB对应的所有圆周角都为45°，即P为圆周上（除A，B）任意点 同样，圆心为（0，4）即另外一种情况 有圆心，有半径，轨迹方程不难了吧，记得除去A，B

解： 答案是有两个。是关于x轴对称的两段圆弧。看具体过程： 设p点的坐标为（x,y)，则 ∣ap∣²=(x+4)²+y² ∣bp∣²=(x-4)²+y² 再由余弦定理，便有 8²=ab²=∣ap∣²+∣bp∣²-2∣ap∣∣bp∣cos45° =(x+4)²+y²+(x-4)²+y²-√{2[(x+4)²+y²][(x-4)²+y²]} =2x²+2y²+32-√{2[(x+4)²+y²][(x-4)²+y²]} 即 2x²+2y²-√{2[(x+4)²+y²][(x-4)²+y²]}=32 且x≠-4,x≠4. 这就是所求点p的轨迹方程了，它由关于x对称的两段圆弧组成。当然，还可以通过平方把方程中的根号去掉。如下： 原式移项，得 √{2[(x+4)²+y²][(x-4)²+y²]}=2x²+2y²-32 两边平方，得 2[(x+4)²+y²][(x-4)²+y²]=4（x²+y²-16）² [(x+4)²+y²][(x-4)²+y²]=2（x²+y²-16）² 整理后得 x^4+y^4+3x²y²-32x²-96y²+65536=0 完。