已知函数f(x)=(x^2+a)/(x+1),a∈R，求函数f(x)的单调区间。

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解：∵f(x)=(x^2+a)/(x+1)的定义域为：x≠-1
∴f'(x)=[(x+1)^2-(a+1)]/(x+1)^2
=1-[(a+1)/(x+1)^2
当f'(x)>0时，函数f(x)是增函数，即：
1-[(a+1)/(x+1)^2]>0
解之得：当a>-1时，x>-1+√(a+1),x<-1-√(a+1)
当a<-1时，x≠-1
∴当a>-1时，函数f(x)在（-∞，-1-√(a+1))和（-1+√（a+1),+∞）上是增函数；当a<-1时，x≠0时，函数f(x)是增函数；
当f'(x)<0时，函数f(x)是减函数，即：
1-[(a+1)/(x+1)^2<0
解之得：当a>-1时，-1-√(a+1)<x<-1+√(a+1)
当a<-1时，无解
∴当a>-1时，函数f(x)在（-1-√(a+1),-1+√(a+1))上是减函数。
综上所述， 当a>-1时，函数f(x)在（-∞，-1-√(a+1))和（-1+√（a+1),+∞）上是增函数；当a<-1时，x≠0时，函数f(x)是增函数；当a>-1时，函数f(x)在（-1-√(a+1),-1+√(a+1))上是减函数。

定义域为x>-1或x<-1 记t=x+1, x=t-1 则f(x)=[(t-1)^2+a]/t=(t^2-2t+1+a)/t=[t+(a+1)/t ]-2 讨论a: a=-1时，f(x)=t-2, 在定义域区间x>-1及x<-1都是单调增 a>-1时，为双勾函数，极值点为t=(a+1)/t, 即t=√(a+1), 或-√(a+1) 单调增区间为:x>√(a+1)-1或x<-√(a+1)-1 单调减区间为:-1<x<√(a+1)-1, 或-√(a+1)-1<x<-1 a<-1时，因t,及(a+1)/t都是增函数，所以在定义域区间x>1及x<-1都是单调增。

（1）x>0有，f(x)=x(x-1)=(x-1/2)²-1/4 显然，f(x)在(0,1/2]单调减(1/2, ∞)单调增 （2）x≤0有，f(x)=-x(x-1)=-(x-1/2)² 1/4 显然，f(x)在(-∞,-1/2]单调增(-1/2,0]单调减 综上，f(x)在(-1/2,0]∪(0,1/2]单调减，(-∞,-1/2]∪(1/2, ∞)单调增 事实上，第二点可通过第一点及函数是奇函数得出