什么是欧氏空间？

我只学到微积分 请尽量说得详细一点

欧氏空间，在数学中是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。这个一般化把欧几里德对于距离、以及相关的概念长度和角度，转换成任意数维的坐标系。 这是有限维、实和内积空间的“标准”例子。

欧氏空间是一个的特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，例如紧性加以调查。内积空间是对欧氏空间的一般化。内积空间和度量空间都在泛函分析中得到了探讨。

欧几里德空间在对包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。一个定义距离函数的数学动机是为了定义空间中围绕点的开球。这一基本的概念正当化了在欧氏空间和其他流形之间的微分。微分几何把微分，会同导入机动性手法，局部欧氏空间，探讨了非欧氏流形的性质。

n 维欧氏空间就是实数的 n 维线性空间 R^n 定义了欧几里德度量得到的度量空间。 其中欧几里德度量定义为 d: R^n —→ R (x_1, x_2, …, x_n) ├→ √(x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 + … + x_n ^ 2 ) 即各分量平方和的算术平方根。 在这种度量下得到的拓扑就欧几里德拓扑，相应的拓扑空间记作E^n。

设v是一个非空集合，p是一个数域，在集合v的元素之间定义一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于v中任意两个元素＠和＃，在v中都有唯一的一个元素＄与他们对应，称为＠与＃的和，记为＄＝＠＋＃．在数域p与集合v的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于数域p中任一数k与v中任一元素@,在v中都有唯一的一个元素＄与他们对应，称为k与＠的数量乘积，记为＄＝k＠．如果加法与乘法还满足下述规则，那么v称为数域p上的线性空间． 加法满足下面四条规则： 1）＠＋＃＝＃＋＠； 2）（＠＋＃）＋＄＝＠＋（＃＋＄） 3）在v中有一元素o，对于v中任一元素＠都有 ＠＋o＝＠ (具有这个性质的元素o称为零元素) 4）对于v中每一个元素＠，都有v中的元素＃，使得 ＠＋＃=o (＃称为＠的负元) 数量乘法满足下面两条规则： 5）1＠＝＠； 6）k(l@)=(kl)@. 数量乘法和加法满足下面两条规则： 7）（k+l）＠＝k＠＋l＠; 8）k（＠＋＃）＝k＠＋k＃． 在以上规则中，k,l等表示数域p中的任意数；＠，＃，＄等表示集合v中任意元素． 设v是实数域r上一线性空间,在v上定义了一个二元实函数,称为内积,记作(@,#),它具有以下性质: 1)(@,#)=(#,@); 2)(k@,#)=k(@,#); 3)(@+#,$)=(@,$)+(#,$); 4)(@,@)>=0,当且仅当@=0时(@,@)=0. 这里@,#,$是v中任意的向量，k是任意实数，这样的线性空间v称为欧几里得空间． 高等代数 答题不易，你的鼓励是我前进的动力。 希望对你有所帮助。