∫∫x平方dS,Σ是x平方+y平方=a平方上介于z=0到1
答案:2 悬赏:70
解决时间 2021-12-29 15:15
- 提问者网友:血樱陌殇
- 2021-12-29 10:09
∫∫x平方dS,Σ是x平方+y平方=a平方上介于z=0到1
最佳答案
- 二级知识专家网友:邪性洒脱
- 2021-12-29 11:12
x² + y² = a²,0 ≤ z ≤ 1
∫∫_(Σ) x² dS,由轮换对称性
= ∫∫_(Σ) (x² + y²)/2 dS
= (a²/2)∫∫_(Σ) dS,曲面面积
= (a²/2) * 2π(半径)(长度)
= (a²/2) * 2π(a)(1 - 0)
= πa³
不用对称性的话略麻烦,
在xOy面上没有投影,故考虑yOz面
Σ1:x = √(a² - y²),x'y = - y/√(a² - y²),dS = a/√(a² - y²) dydz
Σ2:x = - √(a² - y²),x'y = y/√(a² - y²),dS = a/√(a² - y²) dydz
∫∫_(Σ) x² dS
= ∫∫_(Σ1) x² dS + ∫∫_(Σ2) x² dS
= ∫∫_(D) (a² - y²) * a/√(a² - y²) dydz + ∫∫_(D) (a² - y²) * a/√(a² - y²) dydz
= 2∫∫_(D) a√(a² - y²) dydz,D为矩形:- a ≤ y ≤ a,0 ≤ z ≤ 1
= 2a∫(0,1) dz ∫(- a,a) √(a² - y²) dy
= 2a∫(- a,a) √(a² - y²) dy
= 2a * (半圆D的面积 = πR²/2)
= 2a * πa²/2
= πa³
∫∫_(Σ) x² dS,由轮换对称性
= ∫∫_(Σ) (x² + y²)/2 dS
= (a²/2)∫∫_(Σ) dS,曲面面积
= (a²/2) * 2π(半径)(长度)
= (a²/2) * 2π(a)(1 - 0)
= πa³
不用对称性的话略麻烦,
在xOy面上没有投影,故考虑yOz面
Σ1:x = √(a² - y²),x'y = - y/√(a² - y²),dS = a/√(a² - y²) dydz
Σ2:x = - √(a² - y²),x'y = y/√(a² - y²),dS = a/√(a² - y²) dydz
∫∫_(Σ) x² dS
= ∫∫_(Σ1) x² dS + ∫∫_(Σ2) x² dS
= ∫∫_(D) (a² - y²) * a/√(a² - y²) dydz + ∫∫_(D) (a² - y²) * a/√(a² - y²) dydz
= 2∫∫_(D) a√(a² - y²) dydz,D为矩形:- a ≤ y ≤ a,0 ≤ z ≤ 1
= 2a∫(0,1) dz ∫(- a,a) √(a² - y²) dy
= 2a∫(- a,a) √(a² - y²) dy
= 2a * (半圆D的面积 = πR²/2)
= 2a * πa²/2
= πa³
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- 1楼网友:我叫很个性
- 2021-12-29 11:17
不明白啊 = =!
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